湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三上学期第二次考试数学试卷 含解析.docx

华中师大一附中2024—2025学年度上学期高三年级第二次考试

数学试题

时限：120分钟满分：150分命题人：周珂黄倩审题人：张丹王文莹

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知为虚数单位，，则（）

A.1 B.2 C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用复数乘法运算及复数相等计算得解.

【详解】依题意，，而，则，

所以.

故选：C

2.已知集合，，则的子集的个数为（）

A.3 B.4 C.8 D.16

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合的描述法确定集合中的元素，根据交集的概念可得，从而根据其元素个数得子集个数.

【详解】因为，

，

所以，所以的子集个数为．

故选：D．

3.设，向量，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由向量垂直得，再利用向量夹角的坐标运算求解即可.

【详解】因为，

又，所以，得到，

所以，得到，

所以.

故选：D

4.函数的图象大致是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据诱导公式化简，再利用函数奇偶性的定义判断的奇偶性，从而得解.

【详解】因为，定义域为，

又，

所以是奇函数，从而ACD错误，B正确.

故选：B.

5.已知能被9整除，则整数的值可以是（）

A. B.-7 C.9 D.13

【答案】B

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，则能被整除，结合选项即可求解.

【详解】因为

，

又能被整除，

所以能被整除，

由选项知当时符合，当，或时均不符合.

故选：B．

6.已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设直线与轴交于点，连接，说明为矩形，得，求得的斜率为，直线方程可求.

【详解】设直线与轴交于点，连接，

因为焦点F1,0，所以抛物线的方程为，准线为，

则，因为是等边三角形，的中点为，

则轴，所以准线为，为矩形，则，

故是边长为4的等边三角形，

易知，则.

因为，所以直线的斜率为,

直线的方程为.

故选：B

7.已知的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由面积公式得到，再由余弦定理得到，利用辅助角公式计算可得.

【详解】依题意，所以．

由余弦定理得，

所以，

故，当时等号成立,

即的最大值为.

故选：D．

8.已知函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，则的值可以是（）

A.4 B.5 C.6 D.7

【答案】C

【解析】

【分析】令，，根据对称性，问题可以转化为与的图象在内有个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.

【详解】令，，

因为与的图象关于轴对称，

因为函数的图象在区间内恰好有对关于轴对称的点，

所以问题转化为与的图象在内有个不同的交点，

在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示：

因为，当时，，

结合图象及选项可得的值可以是，其他值均不符合要求,.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为与的图象在内有个不同的交点.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.定义在上的函数的值域为，且，则（）

A. B.

C. D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用赋值法及基本不等式结合选项可得答案.

【详解】令，则有，解得或，

因为函数的值域为，所以，A正确；

令，则有，即

令，则有，即，B不正确；

令，则有，所以，即，C正确；

因为，所以，，

所以，当且仅当时，取到等号，

所以，D正确.

故选：ACD

10.下列命题正确的是（）

A.“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件

B.若为第一象限角，则

C.在中，若，则为锐角三角形

D.已知，且，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A，根据充分，必要条件的概念判断；对B，利用二倍角余弦公式化简求解；对C，将条件式切化弦结合三角变换求解判断；对D，利用二倍角余弦公式化简条件式，再弦化切求解.

【详解】对于A，若是第二象限角或第三象限角，则.若，取，

此时不是第二象限角或第三象限角，则是的充分不必要条件，故A正确；

对于B，由于为第一象限角，则，

，故B错误；

对于C，在中，若，则，所以，

故，所以，故为锐角三角形，故C正确；

对于D，由，所以