江苏省苏州市第五中学20242024学年高中数学 22平面向量的线性运算学案 新人教A版必修4.doc

22向量的线性运算

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

向量加减法和数乘运算

理解

与实数的运算比较,注意运算法则的异同,理解共线定理的应用

向量共线定理

理解

向量的线性运算性质及其几何意义

了解

二预习指导

1预习目标

(1)理解向量加法的定义；掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则；

(2)理解相反向量的概念，掌握向量减法运算的法则并结合平面上的三角形四边形等图形进行向量的加减法运算；

(3)理解两个向量共线的充要条件，能用已知向量去表示与它共线的向量，能通过向量的加减运算及实数与向量的积的运算，判断两个向量是否共线

2预习提纲

(1)向量的加法

回忆物理中矢量加法的相关知识，阅读教材P59~61内容，阅读课本上的例题例1讲的是向量的加法，计算时要善于把向量放到具体的三角形或平行四边形中，灵活应用两种加法法则思考：①在四边形ABCD中，等于什么？②n个首尾相连的向量的和向量有何特点？例2讲的是向量的加法的实际应用，解决这类问题的基本步骤是将实际问题的量用向量表示画图用向量的加法解决问题

(2)向量的减法

回忆物理中矢量减法的相关知识，阅读教材P61~63内容，阅读课本上的例题例1中向量的减法的作图说明当起点相同时，从的终点指向的终点的向量就是例2体会将一个向量表示成几个向量的和或差的方法，这种“由简化繁”在数学证明中常常用到

(3)向量的数乘

阅读教材P63~64内容，阅读课本上的例题例2让我们认识到向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似

(4)向量共线定理

阅读教材P64~66内容，思考①向量的数乘与实数的乘积有何异同？②共线向量定理中为什么要规定？阅读课本上的例4，回答下列问题①如果λ＞0，λ＜0时，点C分别在直线AB的什么位置上？②当C与A重合时，λ的值为0；③当C与B重合时，满足关系式的λ还存在吗？

3典型例题

(1)向量的加法

向量加法的三角形法则和平行四边形法则是等价的，具体应用时三角形法则要求“首尾连接”，平行四边形法则要求“共起点”，由已知向量表示未知的向量

例1如图，点DEF分别是三边ABBCCA的中点求证：

(1)；

(2)

分析：求两个向量的和，当两向量的起点相同时，可以用平行四边形法则，当一个向量的终点为另一个向量的起点时，可以用三角形法则

证明：(1)在中，由向量加法的三角形法则知：

，

同理中，由向量加法的三角形法则知：,

所以

(2)因为点DEF分别为三边的中点，则四边形ADEF为平行四边形，

则,

同理四边形BEFD中，,

四边形CFDE中，,

将以上三式相加得：

例2已知正六边形ABCDEF，O是它的中心若，试用表示向量

分析：结合图形性质，准确灵活应用三角形法则和平行四边形法则是向量加法运算的关键

解：由图可知=，在四边形ABCO中，

根据平行四边形法，则=+=；

由三角形法则可知=+=+=+；

=+=+=＝

点评：此题属于用已知向量表示未知向量，尽量把未知向量放在三角形中，利用向量加法法则向已知量转化，注意相反向量和向量和为零的向量

(2)向量的减法

向量的减法是向量加法的逆运算，向量的减法满足三角形法则，运用三角形法则解决问题

例3化简：

分析：常有三种方法进行向量的加减运算：

(1)利用统一成加法运算；

(2)利用统一减法运算；

(3)利用进行合并运算

解：解法一:

解法二:

解法三:

点评：解决此类问题的一般方法是根据式子的特点重新组合，将首尾相接的向量分在一起，并灵活运用相反向量变形特别是逆用向量减法

例4如图，已知平行四边形ABCD的对角线ACBD交于点O，若＝，＝，＝，求证：+＝

分析：本题解法很多，通过一题多解，加深对向量加减法概念的理解，熟悉加减法运算的法则

证明：在平行四边形ABCD中，

∴

点评：本题的其他证法，如

或等等，可根据不同的思考给出不同的解答

(3)向量的数乘

了解向量数乘运算与加法的联系，及向量数乘的几何意义，向量共线定理对于证明三点共线的问题有很多应用

例5计算(1)6[45(23)]+(+7)；

(2)

分析：运用运算律，类比合并同类项求解

解：(1)原式＝6[6+15]++7＝137；

(2)原式＝

点评：向量的线性运算类似与代数多项式的运算，实数运算中去括号移项合并同类项提取公因式等变形手段在向量线性运算中可以使用

例6在中，交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N设，用表示向量

分析：本题除要进行向量的加减运算外，还有数乘