江苏省苏州市第五中学高中数学 24幂函数学案 苏教版必修1.doc

24幂函数

一学习内容要求及建议

知识方法

要求

建议

幂函数的概念

了解

通过实例，了解幂函数的概念，知道幂函数也是一类函数模型

幂函数的图象与性质

了解

通过几个常见的幂函数的图象，观察总结幂函数的变化情况和性质

二预习指导

1预习目标

(1)了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质

(2)了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小

(3)进一步体会数形结合的思想

2预习提纲

(1)阅读课本P72,了解幂函数的概念，区别幂函数与指数函数

(2)结合课本P72例1，在同一坐标系中作出函数的图象

观察上述图象填写下表：

性质函数

性质

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

(3)结合(2)中图象与表格，归纳幂函数的一般性质

3典型例题

(1)幂函数的概念

例1已知为何值时，是幂函数？

分析：根据幂函数的概念，建立关于m的方程求解

解：由题得：，解得：

点评：形如“(为常数)”的函数叫幂函数，这是一个形似概念，的系数是1

例2若幂函数的图象经过点，求的值

分析：先用待定系数法求出幂函数的解析式，再求的值

解：设，因为的图象经过点，所以，

即，，，

点评：注意中，的求法

(2)幂函数的图象与性质

例2判断幂函数是否具有下列性质：

(1)都过(0，0)点；

(2)都过(1，1)点；

(3)不是奇函数就是偶函数；

(4)至少在(0，+∞)上有定义；

(5)不可能是R上的减函数；

(6)(0，+∞)是幂函数值域的子集

分析：画出幂函数的图象，观察图象，逐一判断

解：图略

幂函数具有性质⑵⑷⑸

性质⑴的反例为；性质⑶的反例为；性质⑹的反例为

点评：要熟记幂函数在第一象限的图象与性质，其它象限根据奇偶性来定

例3画出的图形，并讨论的定义域值域奇偶性单调性

分析：根据作出的的图形“看图说话”

解：由题得：的定义域为R；值域为；

偶函数；在上单调递增，在上单调递减

点评：研究幂函数的性质要充分依靠幂函数的图象

例4已知幂函数的图象与坐标轴不相交，且关于y轴对称，求m的值

分析：结合幂函数图象建立m的方程，但注意的图象也符合题意

解：由题得：，由①解得：，

又，∴，

分别代入②检验得：

点评：容易遗漏的情形

例5比较下列各组数的大小

(1)；(2)；

(3)；(4)

分析：(1)考察幂函数；(2)考察幂函数；(3)(4)都可插入中间量

解：(1)，且在R上单调递增，

(2)，

在上单调递减，且，

，即

(3)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现

(4)它们的底和指数都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数，利用幂函数和指数函数的单调性得

点评：比较幂形式的两个数的大小，一般思路是：(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性；(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需找一个恰当的数作为桥梁来比较大小

4自我检测

(1)下列函数中是幂函数的有__________

①；②+1；③；④；⑤；⑥

(2)已知幂函数:①；②；③；④；

其中定义域是R的函数有__________；是偶函数的有__________

(3)幂函数的图象过点(4，2)，则__________

(4)幂函数在[1，2]上的最大值是__________

(5)已知函数①；②；③；④其中定义域是R且在R上单调递增的有__________

(6)函数是幂函数，且函数为偶函数，则__________

三课后巩固练习

A组

1在以下四个函数：中，定义域为R的函数为__________

2(1)函数的定义域为_________

(2)的定义域为_________

3在以下四个函数：中，值域为的函数共_____个

4函数的图象是()

5已知函数，若，则实数的取值范围是___________

6(1)设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为________

(2)已知幂函数的图象与轴轴都无公共点，且关于轴对称，则=___________

7在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率(单位：)与管道半径(单位：)的四次方成正比，若气体在半径为3的管道中，流量速率为400，(1)求该气体通过半径为的的管道时，流量速率的表达式；(2)若气体通过的管道半径为5，计算气体的流量速率(精确到1)

B组

8给出下列四个命题：

①幂函数的图象都通过(0，0)，(1，1)两点；

②当0时，幂函数的值在定义域内随x的增大而减少；

11O

1

1

O

④当幂函数的图象是一条直线时，=0或=1

其中正确的命题共有_____