重庆市南开中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题（教师版）.docxVIP

重庆南开中学高2025级高一（下）期末考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

1.直线的倾斜角是（）

A.30° B.60° C.120° D.150°

【答案】A

【解析】

【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.

【详解】因为的斜率，

所以其倾斜角为30°.

故选：A.

2.已知，均为单位向量，且与夹角为，则（）

A.3 B. C.2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求，再利用模长公式可得答案.

【详解】因为，均为单位向量，且与夹角为，所以；

因为，所以.

故选：D.

3.将按斜二测画法得到，如图所示，，，，则的面积（）

A.2 B. C.4 D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦定理求出，即可得到平面图形中的长度，即可求出面积.

【详解】因，，，则，

由正弦定理，即，解得，

则在平面图形中，，

所以.

故选：D

4.过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（）

A.4条 B.5条 C.6条 D.7条

【答案】C

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理分析求解.

【详解】如图，设为相应棱的中点，

则//，且平面，平面，所以//平面，

同理可得：与平面平行，

由图可知：其他的任意两条棱的中点的连线与平面相交或在平面内，

所以与平面平行的直线有6条.

故选：C.

5.如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】取上靠近的三等分点F，取上三等分点，可知直线与所成角即为直线与所成角，求出，在中，由余弦定理求解即可.

【详解】取上靠近的三等分点F，取上三等分点，

连接，

因为，所以四边形是平行四边形，

所以，所以直线与所成角即为直线与所成角，

，

由正方体的性质可得：平面，平面，

所以平面，所以，，

，，

，

在中，，

所以直线与所成角的余弦值为.

故选：B.

6.在中，边上的高，且，则为（）

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】利用余弦定理及面积公式得到，再由基本不等式得到，利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得.

【详解】由余弦定理，

又，

即，

所以，

即，

因为，所以，

即，

所以，

则，即，

因为，所以，

所以，解得，即为锐角.

故选：A

7.已知是边长为的正三角形，动点满足，且.若为的中点，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】取的中点，连接，根据平面向量共线定理的推论可得、、三点共线，由正三角形的性质可得且，即可得到当是的中点取得最小值.

【详解】如图取的中点，连接，则，

因为，所以，又，

所以、、三点共线，即在直线上，

因为是边长为的正三角形，所以且，

又为的中点，所以当是的中点时且，则，

此时取得最小值，即的最小值为.

故选：B

8.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面，，，分别在棱，上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】依题意可得平面，即可得到，从而得到平面，又外接圆的直径即可直角三角形的斜边，即可得到即为三棱锥外接球的直径，从而求出外接球的体积.

【详解】因为平面，平面，所以，

又，，平面，所以平面，

平面，所以，又，，平面，

所以平面，

又，所以外接圆的直径即可直角三角形的斜边，

又平面，，所以即为三棱锥外接球的直径，

所以三棱锥外接球的半径，

所以外接球的体积.

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.

9.下列四个命题中不正确的是（）

A.，，则

B.，则

C.，，则

D.，，，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.

【详解】对于A，若，，则可能，故A不正确；

对于B，若，则可能，故B不正确；

对于C，若，，则，故C正确；