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专项训练六圆中的证明与计算
类型一：与圆的性质有关的证明与计算
1.(2024·浙江改编)如图,在圆内接四边形ABCD中,AD＜AC,∠ADC＜∠BAD,延长AD至点E,使AE＝AC,延长BA至点F,连接EF,使∠AFE＝∠ADC.(1)若∠AFE＝60°,CD为直径,求∠ABD的度数；(2)①延长AB至点M,求证：EF∥BC；②过点D作DG∥BC交⊙O于点G,连接AG,CG,求证：EF＝BD.
(1)解：∵CD为直径,∴∠CAD＝90°,∵∠AFE＝∠ADC＝60°,∴∠ACD＝90°－60°＝30°,∴∠ABD＝∠ACD＝30°.
(2)证明：①∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠CBM＝∠ADC,又∵∠AFE＝∠ADC,∴∠AFE＝∠CBM,∴EF∥BC.
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(2)证法一：由题意得BK＝DK，∵BD＝2OE，∴OE＝BK，∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB，∴Rt△OEC≌Rt△BKO(HL)，∴∠COE＝∠OBK，∴OC∥BD.?
类型二：与切线判定有关的证明与计算
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4.(2024·威海)如图,已知AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且BC＝CD.E是线段AB延长线上一点,连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H,∠H＝45°.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若BE＝2,CE＝4,求AF的长.
(1)证明：连接OC,∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA,∵BC＝CD,∴∠DAC＝∠BAC,∴∠OCA＝∠DAC,∴OC∥AF,∵EH平分∠FEG,∴∠FEG＝2∠GEH,∵∠GEH＝∠H＋∠BAC,∠FEG＝∠F＋∠BAF,∴2∠H＋2∠BAC＝∠F＋∠BAF,∵∠BAF＝2∠BAC,∴∠F＝2∠H＝90°,∵OC∥AF,∴∠OCE＝∠F＝90°,即OC⊥EF,∵OC是半径,∴EF是⊙O的切线.
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类型三：与切线性质有关的证明与计算
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(1)证明：连接OA，∵AB与⊙O相切于点A，∴∠OAB＝90°，∵OC∥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∵OC＝OA，∴∠OCA＝45°，∴∠OCA＝∠ADC.
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6．(2024·贵州)如图，AB为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF的延长线相交于点D，AC与OF相交于点E，DC＝DE.(1)写出图中一个与∠DEC相等的角：；(2)求证：OD⊥AB；(3)若OA＝2OE，DF＝2，求PB的长．∠DCE(答案不唯一)
(2)证明：连接OC，∵PC是半圆O的切线，∴OC⊥CD，即∠DCE＋∠ACO＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO，∵∠DCE＝∠DEC，∠AEO＝∠DEC，∴∠AEO＋∠OAC＝90°，∴∠AOE＝90°，∴OD⊥AB.?
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