2018-2019学年高中数学第一章导数及其应用14生活中的优化问题举例习题新人教A版选修2-2.docVIP

第一章1.4生活中的优化问题举例

A级基础巩固

一、选择题

1．(2017·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)

A．8 B．eq\f(20,3)

C．－1 D．－8

[解析]瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，

故x＝1时，f′(x)min＝－1．

2．(2017·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长20cm，要使其体积最大，则高为(D)

A．eq\f(\r(3),3)cm B．eq\f(10\r(3),3)cm

C．eq\f(16\r(3),3)cm D．eq\f(20\r(3),3)cm

[解析]设圆锥的高为xcm，则底面半径为eq\r(202－x2)(cm)，其体积为V＝eq\f(1,3)πx(202－x2)(0x20)，V′＝eq\f(1,3)π·(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝eq\f(20\r(3),3)，x2＝－eq\f(20\r(3),3)(舍去)．当0xeq\f(20\r(3),3)时，V′0，当eq\f(20\r(3),3)x20时，V′0，∴当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取最大值．

3．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(D)

A．eq\f(3\r(3),2)cm2 B．4cm2

C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2

[解析]设一个三角形的边长为xcm，则另一个三角形的边长为(4－x)cm，两个三角形的面积和为S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)x2－2eq\r(3)x＋4eq\r(3)．令S′＝eq\r(3)x－2eq\r(3)＝0则x＝2，所以Smin＝2eq\r(3)．

4．(2017·泰安高二检测)已知某个车轮旋转的角度α(弧度)与时间t(秒)的函数关系是α＝eq\f(2π,0.64)t2(t≥0)．则车轮启动后1．6秒时的瞬时速度为(B)

A．20π弧度/秒 B．10π弧度/秒

C．8π弧度/秒 D．5π弧度/秒

[解析]α′＝eq\f(4πt,0.64)，

∴车轮启动1．6秒时的瞬时速度为：eq\f(4π,0.64)×1．6＝10π．

故选B．

5．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为(A)

A．(eq\f(l,6))3π B．(eq\f(l,3))3π

C．(eq\f(l,4))3π D．eq\f(1,4)(eq\f(l,4))3π

[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，

∴h＝eq\f(l－4r,2)，

V＝πr2h＝eq\f(l,2)πr2－2πr3(0req\f(l,4))，V′＝lπr－6πr2，

令V′＝0，得r＝0或r＝eq\f(l,6)，而r0，

∴r＝eq\f(l,6)是其唯一的极值点．

∴当r＝eq\f(l,6)时，V取得最大值，最大值为(eq\f(l,6))3π．

6．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为(A)

A．0．5m B．1m

C．0．8m D．1．5m

[解析]设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为eq\f(6－12x－16x,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－7x))(m)，容积V＝3x·4x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－7x))＝18x2－84x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0x\f(3,14)))，V′＝36x－252x2，

由V′＝0得x＝eq\f(1,7)或x＝0(舍去)．x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,7)))时，V′0，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(3,14)))时，V′0，所以在x＝eq\f(1,7)处，V有最大值，此时高为0．5m．

二、填空题

7．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利