2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程24抛物线242抛物线的几何性质学案选修1-1.docVIP

2.4.2抛物线的几何性质

学习目标：1.了解抛物线的简单的几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等．2.会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题．(难点)

[自主预习·探新知]

抛物线的几何性质

类型

y2＝2px(p0)

y2＝－2px(p0)

x2＝2py(p0)

x2＝－2py(p0)

图象

性

质

焦点

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

准线

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

x∈R，y≥0

x∈R，y≤0

对称轴

x轴

y轴

顶点

O(0,0)

离心率

e＝1

开口方向

向右

向左

向上

向下

[基础自测]

1．判断正误：

(1)抛物线是中心对称图形．()

(2)抛物线的范围是x∈R.()

(3)抛物线是轴对称图形．()

【解析】(1)×.在抛物线方程中，以－x代x，－y代y，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形．

(2)×.抛物线的方程不同，其范围就不同，如y2＝2px(p＞0)的范围是x≥0，y∈R.

(3)√.抛物线y2＝±2py(p＞0)的对称轴是x轴，抛物线x2＝±2py(p＞0)的对称轴是y轴．

【答案】(1)×(2)×(3)√

2．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M到焦点的距离是aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＞\f(p,2)))，则点M的横坐标是________.

【导学号

【解析】由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－eq\f(p,2)的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－eq\f(p,2).

【答案】a－eq\f(p,2)

[合作探究·攻重难]

抛物线的方程及其几何性质

(1)设O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若PF＝4eq\r(2)，则△POF的面积为________．

(2)已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程.

[思路探究](1)利用抛物线的对称性及等边三角形的性质求解；

(2)设出抛物线的标准方程，根据抛物线的对称性表示出三角形的面积，解方程可得抛物线方程中的参数，即得抛物线的方程．

【自主解答】(1)如图，设P(x0，y0)，由PF＝x0＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，

得x0＝3eq\r(2)，代入抛物线方程得yeq\o\al(2,0)＝4eq\r(2)×3eq\r(2)＝24.

所以y0＝2eq\r(6).所以S△POF＝eq\f(1,2)OF·y0＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(6)＝2eq\r(3).

【答案】2eq\r(3)

(2)由题意，设拋物线方程为y2＝ax(a≠0)．焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，直线l：x＝eq\f(a,4)，

∴A、B两点的坐标分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(a,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，－\f(a,2)))，

∴AB＝a，∵△OAB的面积为4，

∴eq\f(1,2)·eq\f(a,4)·a＝4，∴a＝±4eq\r(2)，∴拋物线的方程为y2＝±4eq\r(2)x.

[规律方法]

1．求抛物线的标准方程时，目标就是求解p，只要列出一个关于p的方程即可求解．

2．求抛物线的标准方程要明确四个步骤：

(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；

(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；

(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；

(4)得出抛物线的标准方程．

[跟踪训练]

1．已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，求抛物线C2的方程.

【导学号

【解】∵双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0