八年级数学上册勾股定理的简单应用（十大题型）（解析版）.docxVIP

（苏科版）八年级上册数学《第3章勾股定理》

3.3勾股定理的简单应用

知识点

知识点

勾股定理的简单应用

利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明题，在解决过程中，往往利用勾股定理列方程（组），有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化非直角三角形为直角三角形来解决.

◆勾股定理应用的类型：

（1）已知直角三角形的任意两边长求第三边长；

（2）已知直角三角形的一边长确定另两边长的关系；

（3）对于一些非直角三角形的几何问题和日常生活中的实际问题，首先要建立直角三角形的模型，然后利用勾股定理构建方程或方程组解决.

【注意】勾股定理的应用的前提条件必须是直角三角形，所以要应用勾股定理必须构造直角三角形.

题型

题型一应用勾股定理解决梯子滑落问题

【例题1】（2023春?南岗区期中）如图，一架5米长的梯子AB，斜靠在一堵竖直的墙AO上，这时梯顶A距地面4米，若梯子沿墙下滑1米，则梯足B外滑（）米．

A．0.6 B．0.8 C．1 D．2

【变式1-1】如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到DE时，AD＝2米，则BE＝米．

【变式1-2】（2023春?南部县校级期末）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝2m．若梯子的顶端沿墙下滑0.5米，这时梯子的底端也恰好外移0.5米，则梯子的长度AB为（）

A．2.5m B．3m C．1.5m D．3.5m

【变式1-3】（2023春?梁园区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（）

A．2m B．2.5m C．2.6m D．2.7m

题型二

题型二应用勾股定理解决旗杆高度问题

【例题2】（2022春?同心县校级期中）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面6米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部8米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？

【变式2-1】（2022秋?东营区校级期末）如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（）

A．5m B．7m C．8m D．10m

【变式2-2】（2023春?济南期末）如图，小霞将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端12米处，发现此时绳子底端距离打结处约6米，则滑轮到地面的高度为米．

【变式2-3】（2023春?罗庄区期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

题型三

题型三应用勾股定理解决风吹树折问题

【例题3】（2023春?罗定市期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）

A．10m B．15m C．18m D．20m

【变式3-1】（2023?南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．

A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55

【变式3-2】（2022春?邹城市校级月考）如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶端与岸齐，则芦苇高度是尺．

【变式3-3】有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？

题型四

题型四应用勾股定理解决水杯子中的筷子问题

【例题4】（2023春?太湖县期末）如图是一只圆柱形玻璃杯，杯高为24cm，将一根筷子插入其中，留在杯外最长4cm，最短3cm，则这只玻璃杯的内径是cm．

【变式4-1】（2023春?伊犁州期末）如图所示，一根长为7cm的吸管放在一个圆柱形杯中，测得杯的内部底面直径为3cm，高为4cm，则吸管露出在杯外面的最短长度为cm．

【变式4-2】（2023?潮州模拟）如图，一根长为18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是