与反比例函数有关问题的压轴题之三大题型(解析版).docx

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专题05与反比例函数有关问题的压轴题之三大题型

目录

TOC\o1-3\h\u【题型一反比例函数与一次函数综合问题】 1

【题型二实际问题与反比例函数综合问题】 10

【题型三反比例函数与几何综合问题】 18

【典型例题】

【题型一反比例函数与一次函数综合问题】

例题:(2023·浙江温州·校联考模拟预测)已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点.

??

(1)求的值,并在图中画出函数的图象;

(2)直接写出不等式的解集.

【答案】(1),画图见解析;

(2)或.

【分析】()依据题意,将代入一次函数解析式可得,再将代入反比例函数解析式可以求得,然后即可画出图象;

()根据图象,找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量即可得解;

本题考查了反比例函数和一次函数交点的问题,掌握反比例函数的图象和性质,一次函数的图象和性质等知识是解题的关键.

【详解】(1)解:将点代入一次函数得,

∴,

∴点的坐标为,

把点代入反比例函数得,解得

∴反比例函数的解析式为,

∴反比例函数的图象如下图;

??

(2)解:由,,根据函数图象可得:

不等式的解集为:或.

【变式训练】

1.(2023·浙江杭州·模拟预测)如图,一次函数的图象与反比例函数(k为常数且)的图象交于,B两点,与x轴交于点C.

(1)求此反比例函数的表达式;

(2)若点P在x轴的正半轴上,且,求点P的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】本题是一次函数和反比例函数综合题:

(1)利用点A在上求a,进而代入反比例函数求k.

(2)联立方程求出交点,设出点P坐标表示三角形面积,求出P点坐标.

【详解】(1)解:把点代入,得,

把代入反比例函数(k为常数且)

∴,

∴反比例函数的表达式为;

(2)解:联立两个函数的表达式得,

解得或,

∴点B的坐标为

当时,得

∴点

设点P的坐标为

解得,(舍去),

∴点.

2.(2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模)已知一次函数与反比例函数,

(1)若函数与函数的图像交于点,点,

①求一次函数和反比例函数的表达式;

②当时,直接写出的取值范围;

(2)若点在函数的图像上,求函数的图像经过的定点.

【答案】(1)①一次函数的表达式为,反比例函数解析式为,②或

(2)

【分析】(1)①把点代入即可求得,然后由反比例函数的解析式求得的坐标,最后利用待定系数法即可求得一次函数的表达式;②在同一平面直角坐标系中,画出一次函数图像与反比例函数图像,根据图像即可求得;

(2)把点代入函数,得,然后把一次函数化为即可.

【详解】(1)解:①一次函数的图像与反比例函数的图像的相交于点,点

反比例函数解析式为,,

把点,点代入得,

解得,

一次函数的表达式为;

②一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图,

??

由图可知:当时,或;

(2)解:点在函数的图像上,

得,

,

,

当时,,即过定点.

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题,主要考查了待定系数法求函数解析式,反比例函数图像上点的坐标特征,函数与不等式的关系,数形结合是解题的关键.

3.(2023·浙江杭州·校考三模)已知点在反比例函数图象上.

(1)求反比例函数的表达式和点A的坐标;

(2)已知一次函数的图象经过点A,,求一次函数的表达式;

(3)直接写出不等式的解集.

【答案】(1)反比例函数解析式为,

(2)

(3)或

【分析】(1)把点A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值即可得到答案;

(2)利用待定系数法求解即可;

(3)利用图象法求解即可.

【详解】(1)解:∵点在反比例函数图象上,

∴,

∴,

∴,

∴反比例函数解析式为,;

(2)解:把、代入中得:

∴,

∴一次函数的表达式为

(3)解:由函数图象可得,当或时反比例函数图象在一次函数图象的上方,

∴不等式的解集为或.

??

【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合,待定系数法求函数解析式,熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.

4.(2023·浙江杭州·统考二模)设函数,函数(,b是常数,).

(1)若函数和函数的图像交于点,点,

①求b,n的值.

②当时,直接写出x的取值范围.

(2)若点在函数的图像上,点C先向下平移1个单位,再向左平移3个单位,得点D,点D恰好落在函数的图像上,求m的值.

【答案】(1)①②或

(2)

【分析】(1)①采用待定系数法即可求出.②采用数形结合的方法,求出两个解析式的交点,结合图像即可求出.

(2)结合题意,表示出点D的坐标,然后将C,D两点代入到中即可求出.

【详解】(1)①把点代入到中,得

把代入到中,得

再把和代入到中,得

解得:

综上:.

②如图所示:

解得:

结合图像,当时,

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