数列（解答题8种考法）（解析版）.docx

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数列（解答题8种考法）

考法一数列常规方法

【例1-1】（2022·陕西）已知等比数列的前n项和为．

(1)求实数k的值，并求出数列的通项公式；

(2)令，设为数列的前n项和，求．

【答案】(1)，(2)

【解析】(1)当时，；

当时，；

因为是等比数列，

所以，即，解得．

综上，k的值为4，数列的通项公式为．

(2)因为，

所以

．

【例1-2】（2022·河南·灵宝市）已知数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【解析】(1)因为，所以，

，…，所以．

又，所以，所以．又，也符合上式，所以．

(2)结合（1）得，所以

，①

，②

①②，得，所以．

【例1-3】（2022·湖北）已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．

(1)求出，的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，求证：．

【答案】(1)，；(2)证明见解析

【解析】(1)由，得．又，

则数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴，

∴，，…，，累加得，

∴．

数列满足，①

当时，；

当时，，②

由①－②可得，当时，也符合上式，故数列的通项公式为．

(2)由（1）可得，

则

，故成立．

【例1-4】（2022·全国1卷高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)(2)见解析

【解析】（1）∵，∴,∴,

又∵是公差为的等差数列，

∴,∴,

∴当时，，

∴,

整理得：,

即,

∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；

（2）

∴

考法二裂项相消大合集

【例2-1】（2022·重庆·模拟预测）已知数列的前n项和为Sn，，，且

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．

【答案】(1)an＝2n﹣13(2)5

【解析】(1)由题意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，解得an+1﹣an＝2（n≥2），

又a2﹣a1＝2，所以{an}是公差为2的等差数列，则an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；

由题知，则

由得，解得，所以n的最大值为5．

【例2-2】（2022·广东·佛山市）已知数列是等比数列，且，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和，并证明：.

【答案】(1)；

(2)，证明见解析.

【解析】(1)设等比数列的公比是q，首项是.由，可得.

由，可得，所以，所以；

(2)证明：因为，

所以.

又，所以.

【例2-3】（2022·辽宁）等比数列中，首项，前项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)设数列公比为，由，，可得，化简得，

即，所以．

(2)由（1）得，所以

所以..

【例2-4】（2022·湖北·模拟预测）设正项数列的前项和为且，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)解：因为，当，且时，

，所以，

则是首项为1，公差为2的等差数列，所以，

即，所以，

所以；

(2)解：由（1）可得，

所以．

【例2-5】（2022·安徽·）在①，，成等比数列，②，③中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．

设为各项均为正数的等差数列的前n项和，已知___．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【答案】(1)条件选择见解析，；(2).

【解析】(1)若选①②作为条件，

设|的公差为d，由成等比数列可知，所以，

整理得．???????????????由得，整理得，?????????????

当时，不合题意，????????

所以，则，解得，故．????????????????????

若选①③作为条件．

设的公差为d，

由成等比数列可知，

所以

整理得．????????????

由得，

整理得，

所以，解得或，

当时，，不合题意，

所以，则，

故；

若选②③作为条件．

设的公差为d，

由得，

整理得，????????????

由得，

整理得，

由两式联立得，

故；

(2)由（1）得，

所以，

故数列的前n项和

．

【例2-6】（2022·浙江金华·模拟预测）已知数列，其中为等差数列，且满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，求证：

【答案】(1)，(2)证明见解析

【解析】(1)由数列为等差数列，且满足，，

当时，可得，即，解得；

因为是等差数列，所以，

所以，所以，

所以

所以.

(2)由（1）得，

所以

.

【例2-7】（2022·浙江·三模）已知数列的前项和为，且满足，，数列满足，，其中．

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