数列（选填题6种考法）（解析版）.docx

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数列（选填题6种考法）

考法一等差等比数列的运算及性质

【例1-1】（2023·江西上饶·统考一模）设等差数列前项和为，若，，则（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】设等差数列的公差为，

由可得，故，

由可得，故，

所以，所以故选：C

【例1-2】（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（????）

A．14 B．12 C．6 D．3

【答案】D

【解析】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，

则，解得，所以.故选：D.

【例1-3】（2021·全国·高考真题）记为等比数列的前n项和.若，，则（????）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【解析】∵为等比数列的前n项和，∴，，成等比数列

∴，∴，∴.故选：A.

【例1-4】（2023·贵州贵阳·统考一模）等差数列中，，则数列的前9项之和为（????）

A．24 B．27 C．48 D．54

【答案】B

【解析】在等差数列中，，则

所以，又，所以，所以.故选：B

【例1-5】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的求和公式可得，

所以，，所以，，

解得，因此，.故选：D.

【例1-6】（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）设数列，均为等差数列，它们的前n项和分别为，，若，则________.

【答案】

【解析】因为数列，均为等差数列，所以，

所以.故答案为：.

【例1-7】（2023·河南·校联考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且，，则（????）

A． B．5 C． D．

【答案】B

【解析】因为，

当时，，

当时，，则，

当时，，则，

因为是等比数列，所以，则，所以，解得，

则，则.故选：B.

【例1-8】（2023·吉林·统考二模）已知是等比数列，下列数列一定是等比数列的是（????）

A．（k∈R） B． C． D．

【答案】D

【解析】设等比数列的公比为，

当时，，数列不是等比数列；

当时，，数列不是等比数列；

当时，，数列不是等比数列；

因为，由等比数列的定义可知：

数列是等比数列，

故选：.

【例1-9】（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（????）

A．6 B． C． D．9

【答案】B

【解析】设数列的公比为，

若，则由题意知，，成等比数列，

则，又，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

即，时等号成立，

则的最小值为.

当时，由，可得，

所以，

故的最小值为.

故选：B.

考法二常见求通项与求和方法

【例2-1】（2023·广西桂林·统考模拟预测）设为数列的前项和，已知，，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题意，由，得，

则，，…，

将各式相加得，又，所以，

因此，

则

将上式减下式得，

所以.故选D.

【例2-2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）（多选）数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（????）

A．

B．数列的前n项和

C．数列的前n项和

D．

【答案】BCD

【解析】由，有，又

所以是首项为，公差为的等差数列，则，

则，则，A错误；

由，可得，解之得

又时，，则，整理得

则数列是首项为3公比为3的等比数列，则，

则数列的前项和

，B正确；

，则数列的前项和

，C正确；

设数列的前项和，

则，，

两式相减得

整理得，则当时，，D正确.

故选：BCD.

【例2-3】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）数列满足，，则__________

【答案】

【解析】由得：，

；

设，

则，

，

，

，即，

，，

.

故答案为：.

考法三数列在实际生活的应用

【例3-1】（2023·陕西咸阳·校考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后面追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（????）

A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米

【答案】C

【解析】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，，