不等式讲义（20230805筱雅key修正）.pdfVIP

不等式精品讲义

一、不等式的基本性质

（1）对称性：⇔；

（2）传递性：，⇒；

（3）可加性：，∈⇔++；

（4）加法法则：，⇒++；

（5）可乘性：，0⇒；，0⇒；

（6）乘法法则：0，0⇒；

（7）乘方法则：0⇒（∈∗，且1）；

（8）开方法则：0⇒（∈∗，且1）；

√√

11

（9）倒数法则：ab0；

ab

（10）有关分数的性质：若0，0，则

bb+mbb−m

①真分数的性质：；；

aa+maa−m

aa+maa−m

②假分数的性质：；；

bb+mbb−m

（11）**不等式的对称性（了解）

设(,,⋅⋅⋅,)是一个元函数.若将,,⋅⋅⋅,中任意的两个变元互相交换位置，得到的与原式是

12n12

恒等的，则称(,,⋅⋅⋅,)是完全对称的.

12

abc

如++，++等.

b+cc+aa+b

设(,,⋅⋅⋅,)是一个元函数.若作置换→,→,⋅⋅⋅,→,→，得到的与原式是

121223−11

恒等的，则称(,,⋅⋅⋅,)是轮换对称的.

12

abc

如3+3+3，++等.

a+bb+cc+a

显然，完全对称的一定是轮换对称的.

二、重要不等式

1.无理式化为有理式，分式化为整式

g(x)0g(x)0



（1）f(x)g(x)或2

f(x)0f(x)g(x)



g(x)0





f(x)g(x)f(x)0



2

f(x)g(x)