2025年数学高考二轮重点专题复习专题13数列新定义问题（典型题型归类训练）含详解.docx

专题12数列新定义问题（典型题型归类训练）

1．（2024·甘肃定西·一模）在个数码构成的一个排列中,若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面,则称它们构成逆序（例如,则与构成逆序）,这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数,记为,例如,.

(1)计算.

(2)设数列满足,求的通项公式.

(3)设排列满足,求.

2．（2024高三下·全国·专题练习）若数列中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称为“等比源数列”．

(1)已知数列为4,3,1,2,数列为1,2,6,24,分别判断,是否为“等比源数列”,并说明理由.

(2)已知数列的通项公式为,判断是否为“等比源数列”,并说明理由.

3．（23-24高二下·吉林四平·阶段练习）在数列中,若存在常数,使得（）恒成立,则称数列为“数列”．

(1)判断数列1,2,3,7,43是否为“数列”.

(2)若,试判断数列是否为“数列”,请说明理由.

(3)若数列为“数列”,且,数列为等比数列,满足求数列的通项公式和的值．

4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列,称为的差数列（或一阶差数列）,称数列的差数列为的二阶差数列,若.

(1)设的二阶差数列为,求的通项公式.

(2)在（1）的条件下,设,求的前n项和为

5．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立,则称数列为“上凸数列”．

(1)若,判断是否为“上凸数列”,如果是,给出证明,如果不是,请说明理由．

(2)若为“上凸数列”,则当时,．

（ⅰ）若数列为的前项和,证明：.

（ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且）,若恒成立,求的最小值．

6．（2024·江西南昌·一模）对于各项均不为零的数列,我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足,且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列.

(1)若是公比为2的等比数列,求数列的前项和.

(2)若是公差为2的等差数列,求.

7．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比都大于3,则称这个数列为“型数列”．

(1)若数列满足,判断是否为“型数列”,并说明理由.

(2)已知正项数列为“型数列”,,数列满足,,是等比数列,公比为正整数,且不是“型数列”,求数列的通项公式．

8．（2015高二·全国·竞赛）设数列满足：①,②所有项,③.设集合,将集合中的元素的最大值记为.换句话说,是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.例如,数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.

(1)请写出数列1,4,7的伴随数列.

(2)设,求数列的伴随数列的前之和.

(3)若数列的前项和（其中常数）,求数列的伴随数列的前项和.

9．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）若有穷数列,是正整数）,满足,即是正整数,且,就称该数列为“对称数列”．例如,数列1,3,5,5,3,1就是“对称数列”.

(1)已知数列是项数为7的对称数列,且,,,成等差数列,,,试写出的每一项.

(2)对于确定的正整数,写出所有项数不超过的“对称数列”,使得依次是该数列中连续的项,当时,求其中一个“对称数列”前19项的和

10．（23-24高二下·江西·阶段练习）将数列按照一定的规则,依顺序进行分组,得到一个以组为单位的序列称为的一个分群数列,称为这个分群数列的原数列．如,,…,是的一个分群数列,其中第k个括号称为第k群．已知的通项公式为．

(1)若的一个分群数列中每个群都含有3项,该分群数列第k群的中间一项为,求数列的通项公式.

(2)若的一个分群数列满足第k群含有k项,为该分群数列的第k群所有项构成的数集,设,求集合M中所有元素的和．

专题12数列新定义问题（典型题型归类训练）

1．（2024·甘肃定西·一模）在个数码构成的一个排列中,若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面,则称它们构成逆序（例如,则与构成逆序）,这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数,记为,例如,.

(1)计算.

(2)设数列满足,求的通项公式.

(3)设排列满足,求.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用逆序数的定义,依次分析排列中的逆序个数,从而得解.

（2）利用逆序数的定义得到,从而利用构造法推得是等比数列,从而得解.

（3）利用逆序数的定义,结合等差数列的求和公式得到,再利用裂项相消法即可得解.

【详解】（1）在排列中,与5构成逆序的有4个,与1构成逆序的有0个.

与2构成逆序的有0个,与4构成逆序的有1个,与3构成逆序的有0个.

所以.

（2）由（1）中的方法,同理可得.

又,所以.

设,得.

所以,解得,则.

因为.

所以数列是首项为1,公比为5的等比数列.

所以,则.

（3）因为.

所以.

所以.

所以.

2．（2024高三下·全国·专题练习）