2025年数学高考二轮重点专题复习专题8三角函数、平面向量及解三角形新定义题含详解.docx

专题08三角函数,平面向量及解三角形新定义题

1．（23-24高一下·江西·阶段练习）对于分别定义在,上的函数,以及实数,若任取,存在,使得,则称函数与具有关系.其中称为的像.

(1)若,,,,判断与是否具有关系,并说明理由.

(2)若,,,,且与具有关系,求的像.

(3)若,,,,且与具有关系,求实数的取值范围.

2．（23-24高一下·上海·阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份,在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点,,则曼哈顿距离为：,余弦相似度为：,余弦距离为

(1)若,,求A,B之间的曼哈顿距离和余弦距离.

(2)已知,,,若,,求的值

(3)已知,,,,若,,求,之间的曼哈顿距离.

3．（23-24高一下·上海杨浦·期中）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识,可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期,但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数,在上严格增函数,再结合,可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数,根据阅读材料的内容,解决下列问题：

(1)求“余正弦”函数的定义域.

(2)判断“余正弦”函数的奇偶性,并说明理由.

(3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期,说明理由,并求其值域.

4．（23-24高一下·四川巴中·阶段练习）定义非零向量的“相伴函数”为,向量称为为函数的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．

(1)求的“相伴向量”.

(2)求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围.

(3)当向量时,其“相伴函数”为,若,方程存在4个不相等的实数根,求实数的取值范围．

5．（23-24高二上·北京·期中）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量,其中称为该向量的第个分量．特别地,对一个维向量,若,称为维信号向量．设,则和的内积定义为,且．

(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．

(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．

(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的,求证：．

6．（23-24高一下·山东·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家,天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献,其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形中,两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积,即,当四点共圆时等号成立.已知凸四边形中,.

(1)当为等边三角形时,求线段长度的最大值及取得最大值时的边长.

(2)当时,求线段长度的最大值.

7．（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）在中,对应的边分别为

(1)求.

(2)奥古斯丁．路易斯．柯西（AugustinLouisCauchy,1789年-1857年）,法国著名数学家．柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名,如柯西不等式?柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．

①用向量证明二维柯西不等式：

②已知三维分式型柯西不等式：,当且仅当时等号成立．若是内一点,过作垂线,垂足分别为,求的最小值．

8．（23-24高一下·上海·期中）将所有平面向量组成的集合记作．如果对于向量,存在唯一的向量与之对应,其中坐标由确定,则把这种对应关系记为或者,简记为．例如就是一种对应关系．若在的条件下有最大值,则称此最大值为对应关系的模,并把的模记作,若存在非零向量及实数使得,则称为的一个特征值．

(1)如果,求.

(2)如果,计算的特征值,并求相应的.

(3)若,要使有唯一的特征值,实数应满足什么条件？试找出一个对应关系,同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值,②,并验证满足这两个条件．

9．（2024·全国·模拟预测）设有维向量,,称为向量和的内积,当,称向量和正交．设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合．

(1)若,写出一个向量,使得．

(2)令．若,证明：为偶数．

(3)若,是从中选出向量的个数的最大值,且选出的向量均满足,猜测的值,并给出一个实例．

10．（23-24高一下·上海徐汇·）设复平面中向量对应的复数为,给定某个非零实数,称向量为的向量．

（1）已知,,求.

（2）对于复平面中不共线的三点,,,设,,,求.

（3）设,,的向量分别为,,,已知,,,求的坐标（结果用,,表示）．

专题08三角函数,平面向量及解三角形新定义题

1．（23-24高一下·江西·阶段