2025年数学中考总复习第一部分整体知识梳理第四章三角形微专题第2课时与角平分线相关的2种常见图形结构.pptxVIP

第2课时与角平分线相关的2种常见图形结构

合理结合角平分线构造图形往往是解决复杂几何问题的切入点，当题目中出现角平分线（或容易得到角平分线）时，首先考虑利用角的轴对称性构造与角有关的对称图形，若另有平行或垂直等条件，则可以考虑构造等腰三角形求解.具体类型见下表：

类型描述图示结论类型1构造对称图形已知射线OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA于点C.方法：过点P作PD⊥OB于点D.?△OCP≌△ODP；PC=PD；OC=OD已知射线OP是∠AOB的平分线，CP⊥OP于点P.方法：延长CP交OB于点D.?△OCP≌△ODP；PC=PD，OC=OD；∠OCD=∠ODC已知射线OP是∠AOB的平分线，C是OA上一点，连接CP.方法：在OB上取一点D，使OD=OC，连接PD.?△OCP≌△ODP；PC=PD；∠OCP=∠ODP；∠OPC=∠OPD

类型描述图示结论类型2“角平分线、平行线、等腰三角形”知二得一AC平分∠BAD，AD∥BC.?BA=BCBD平分∠ABC，AD∥BC.AB=ADBF平分∠ABC，CF平分∠ACB，DE∥BC.?DF=DB；EF=EC；△ADE的周长=AB+AC

类型1构造对称图形例1（2024·合肥包河区一模）在△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交AB于点E，过点B作BD⊥CD于点D.?图1图2

【答案】（1）（ⅰ）∵AB=AC，∠A=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=22.5°.∵BD⊥CD，∴∠D=∠A=90°，∴∠DBE=∠ACD=22.5°.

（ⅱ）CE=2BD.证明：延长BD，CA交于点F.∵CD平分∠ACB，∴∠DCF=∠DCB，∵∠BDC=∠FDC=90°，CD=CD，∴△DCF≌△DCB（ASA），∴DF=BD，∴BF=2BD.∵∠BDC=∠BAC=90°，∠BED=∠CEA，∴∠DBE=∠ACE，∵AB=AC，∠BAF=∠BAC=90°，∴△ABF≌△ACE（ASA），∴CE=BF，∴CE=2BD.

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提分练1如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=50°，D，E分别是AB，BC边上的点，将△BDE沿DE折叠得到△PDE，使点P落在∠ACB的平分线上，此时PF垂直平分AC，垂足为点F，则∠PDB=°.?100

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类型2“角平分线、平行线、等腰三角形”知二得一??

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提分练2如图，∠AOD=15°，OD平分∠AOB，CD⊥AO，垂足为点C.若CD=2，则OC的长为.???

针对训练与中点相关的常见基本图形1.如图，E是?ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F.若CD=6，则BF的长为（）?A.5 B.10C.12 D.14C

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3.如图，在△ABC中，E是BC的中点，点D在BC边上，连接AD，作EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G.已知BG=CF，求证：AD是△ABC的角平分线.

证明：过点C作CH∥AB，交FE的延长线于点H.∵CH∥AB，∴∠B=∠HCE，∠BGE=∠H.∵E是BC的中点，∴BE=CE，∴△BGE≌△CHE（AAS），∴BG=CH.∵BG=CF，∴CH=CF，∴∠F=∠H.∵EF∥AD，∴∠F=∠DAC，∠BGE=∠BAD，∴∠DAC=∠BAD，∴AD是△ABC的角平分线.

4.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连接DE，过点A作AF∥DE交BC于点F，连接EF.求证：S四边形ABFE=S△EFC.?

?5.如图，△ABC和△ECD是等腰直角三角形，CE⊥BC于点C，取BD的中点N，连接EN并延长交BC于点M，连接AN，AM，AE.（1）AN与EM的位置关系是，AN与EM的数量关系是.?（2）请证明上述关系.AN⊥EM

解：（2）∵∠DEC=∠BCE=90°，∴DE∥BC，∴∠EDN=∠MBN.又∵DN=BN，∠END=∠MNB，∴△END≌△MNB（ASA），∴MN=EN，BM=DE.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠ACB=45°.?

与角平分线相关的常见基本图形6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，已知△ABC的面积为28，AC=6，DE=4，求AB的长.?