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浅谈摄动理论及其工程应用

《浅谈摄动理论及其工程应用》

摘要

奇异摄动方法是求含有小参数的微分方程在整个区域上一致有效渐近解的一类近似方法的总称。它是1892年由Poincaré倡导创立的。奇异摄动方法自诞生之日起，便被广泛应用于力学、天文学等诸多科学领域之中。实用性是奇异摄动方法最突出的品质。在柔性关节机器人的控制研究中，实现定位目标的同时必须快速消除柔性振动。根据奇异摄动方法，提出了基于慢时标子系统和快时标子系统的混合控制方法。本文分为四个部分。其中，第一部分为引言，对应用数学的产生做了简要介绍；第二部分对摄动理论的发展现状进行了总结，阐述了摄动理论与应用数学的关系及其在工程应用问题中的经典方法；第三部分以柔性关节机器人控制系统为工程背景，对奇异摄动方法的应用进行了详细的阐述。通过奇异摄动方法实现了对具有鲁棒性的双时标混合控制系统的设计；第四部分是总结部分。

关键词：奇异摄动；一致有效；柔性关节；混合控制；

一、引言

数学作为研究数量关系和空间形成的一门学科，起源于人类社会生产实践的需要，并随着社会的进步和数学自身矛盾的解决而发展，以自身矛盾为研究对象的数学，人们称之为纯粹数学，其突出的特点是高度的抽象和理论的严谨。而以现实世界的物质运动和人类社会的实际活动为背景的数学，则称之为应用数学，其突出的特点是实际的背景和具体的应用。作为应用数学一部分的摄动法是最重要的一种求解非线性问题的近似方法，它正受到国内外学者越来越普遍的重视，已被公认为数学、物理、力学、化学、生物学以及各种工程技术科学中研究非线性问题的基本工具之一，也是现代应用数学、计算数学和力学工作者所必须掌握的基础知识。

二、摄动理论的现状与发展

2.1应用数学的产生及其特征

在19世纪末，当时的工业落后，无论是引进技术还是自己动手搞大工业实验都力不从心，只好求助于数学，崇尚应用数学的研究蔚然成风，形成了著名的哥廷根应用数学学派。最早使用“应用数学”这一名称是本世纪四十年代的美国数学家。第二次世界大战期间，许多军事问题如“密码破译、潜艇的系统有哪些信誉好的足球投注网站、原子弹”都与数学有密切的关系。数学家为战争的胜利作了重大的贡献，这也促使美国政府和军界在战后对应用数学的研究继续提供有力的支持和资助，使得应用数学在当今的美国充满生机、最优活力的学科之一。

应用数学侧重解决实际问题，来源于数学学科以外的其他学科提出的数学问题。应用数学容许用不完全严格的推理和运算去求解数学模型。这是因为将实际问题归结为数学模型时，人们必训抓住主要矛盾而省略次要因素。使用的参数和数据难免不完全或有测量误差，计算时也往往会有舍入误差、截断误差和误差的积累。而实际问题也往往容许一定程度的误差，有时一些问题虽然有严格的数学解，但实际应用时不方便，因此人们宁可要那些虽然不够严格但是简单实用的解。

2.2摄动法的产生及其与应用数学的关系

随着经济建设和科学技术的发展，现代的工程技术人员、物理学和数学工作

者面临的许多实际问题，应用数学从这些实际问题中归结出来的数学模型，常常是非线性、变系数的微分方程，附以非线性的边界条件或初始条件，有些问题的边界形状相当复杂，有些边界本身是不确定的[1]。这些问题绝大多数求不出精确解，或者虽可求出精确解但对于物理上或数学上不便使用。为了解决这些问题，人们不得不求助于近似解、数值解或两者相结合的形式，从而逐步形成和发展了奇异摄动理论和各种渐近方法，亦称摄动方法。

“摄动”一词源于天体力学，而摄动方法则是近百年来由许多数学家、力学家和物理学家共同建立并发展起来的具有广泛应用的一类重要方法。从近半个世纪来看，其发展十分迅速，摄动方法是求现代技术和科学问题分析的最有力的数学工具，应用领域尤为广泛。现在已被公认为数学、力学、理论物理、化学、生物学及各种工程技术科学中研究非线性微分方程的基本工具之一，也是应用数学的重要学科之一。

摄动方法是寻求代数方程、超越方程、微分方程、积分方程等方程近似解的一大类方法的总称，是方程近似求解中最主要的方法。按照这些方法，解是用一个渐近展开式的开头几项（一般不多于两项）表示。

在实际问题中，人们经常会遇到兼具快、慢变化的统一过程。描述它们的方程多是变系数的、非线性的，定解条件可能是不确定的、非线性的，用一般参数展开得不到一致有效的近似解，而使用通常的数值解法又会出现病态矩阵，因而吸引了许多数学和其他各门科学技术工作者，他们在正则摄动理论的基础上，发展了奇异摄动理论。

应该指出，摄动方法在数学上并非十分严谨。其处理技巧和适用性有时没有一定规律可循，需要对实际背景有相当的了解，并借助经验和直觉才能顺利地运动这种数学工具来解决实际问题。尽管如此，人们还是在实践中不断丰富发展着这一理论。究其原因，就在于它的实用性。摄动方法的产生可溯源到十九世纪末期天文学家Lindste