查补培优冲刺01 三角形与四边形综合压轴（解析版）.docxVIP

查补培优冲刺01.三角形与四边形综合压轴

三角形与四边形是几何图形中的基本图形，在中考数学的考查中怎能让这两个大内容缺席。在江苏地区中考试题中，对这两个大内容的考查形式不尽相同，有以选择题或填空题单独考查的，有将两个内容放在一个解答题中综合考查的，也有一些地方将三角形与四边形压轴题目考查的。

题型一：三角形综合压轴（选填题）

题型二：四边形综合压轴（选填题）

题型三：三角形与四边形综合（传统解答证明压轴）

题型四：三角形与四边形综合（动态几何压轴）

题型五：三角形与四边形综合（存在性、探究性压轴）

题型一：三角形综合压轴（选填题）

此类题型主要以三角形为背景结合勾股定理、等腰三角形的性质与判定、解直角三角形、全等三角形的性质与判定、翻折与旋转的性质等知识一起考查，添加辅助线构造全等三角形、相似三角形是解答的关键。

例1．（2024·江苏宿迁·一模）如图，中，，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，线段与线段相交于点E，若，则的长为．

【答案】

【分析】过点作于点，作于点，连接，先证明为等边三角形，三线合一求出的长，斜边上的中线求出的长，证明，相似比求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出的长，即可．

【详解】解：过点作于点，作于点，连接，

∵旋转，∴，∴为等边三角形，

∴，∴，

∵，为的中点，∴，

∵，，∴，∴，

∴，∴，，

∵，，，∴，

∴，∴，

∵，∴；故答案为：．

【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形．

变式1．（2024·江苏连云港·一模）正方形的边长是6，点E是边延长线上一点，连接，过点A作，交的延长线于点，则的长为．

【答案】

【分析】此题主要考查了正方形的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质，熟练掌握，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程求线段的长是解决问题的关键．过点作于点，设，则，在中由勾股定理得：，在中由勾股定理得：，由得，解得，则，证为等腰直角三角形，设，则，证和相似得，即，由此得，则，然后利用勾股定理即可求出的长．

【详解】解：过点作于点，如图所示：∵四边形为正方形，且边长为6，

∴，设，则，

在中，，由勾股定理得：，

在中，，由勾股定理得：，

整理得：，

解得：(不合题意，舍去)

∴为等腰直角三角形，

设，则，

又即，

解得：，在中，由勾股定理得：故答案为：．

变式2．（2023·浙江金华·三模）如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则．

【答案】/

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识．证明，由全等三角形的性质得出，证出，过点作于点，作于点，由全等三角形的性质得出，，得出，由角平分线的性质，再根据，求出的长，最后利用等腰直角三角形的性质得出结论．

【详解】解：，，

，，，，

，，，，

如图，过点作于点，作于点，，，，

，，，平分；，，

，为的中点，，，

，，，．故答案为：．

题型二：四边形综合压轴（选填题）

此类题型主要以四边形为背景结合勾股定理、等腰三角形的性质与判定、解直角三角形、全等三角形的性质与判定、翻折与旋转的性质等知识一起考查，添加辅助线构造全等三角形、相似三角形是解答的关键。

例1．（2022·江苏南通·中考真题）如图，点O是正方形的中心，．中，过点D，分别交于点G，M，连接．若，则的周长为．

【答案】

【分析】连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，解直角三角形可得BG＝，AG＝AB，然后证明△ABG≌△HFD（AAS），可得DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，进而可证△BCM≌△FHM（AAS），得到MH＝MC＝CD，BM＝FM，然后根据等腰三角形三线合一求出DF＝FM，则BG＝DF＝FM＝BM＝，再据直角三角形斜边中线的性质和三角形中位线定理分别求出OM、EM和OE即可解决问题．

【详解】解：如图，连接BD，则BD过正方形的中心点O，作FH⊥CD于点H，

∵，，∴∴AG＝AB＝，∴BG＝，

∵∠BEF＝90°，∠ADC＝90°，∴∠EGD＋∠EDG＝90°，∠EDG＋∠HDF＝90°，∴∠EGD＝∠HDF

∵∠AGB＝∠EGD，∴∠AGB＝∠HDF，

在△ABG和△HFD中，，∴△ABG≌△HFD（AAS），∴AG＝DH，AB＝HF，

∵在正方形中，AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝90°，∴DH＝AG＝AB＝CD，BC＝HF，

在△BCM和△FHM中，，∴△