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中考数学平行四边形综合题含答案

一、平行四边形

1．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长.

详解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF，

在△BOE和△DOF中，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，

设BE=x，则?DE=x，AE=6-x，

在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，

∴x2=42+（6-x）2，

解得：x=，

∵BD==2，

∴OB=BD=，

∵BD⊥EF，

∴EO==，

∴EF=2EO=．

点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键

2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）求证：AE=DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=或12.

【解析】

【分析】

（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；

（3）△DEF为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.

【详解】

解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°，

∴AB=AC=×60=30cm，

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在Rt△CDF中，∠C=30°，

∴DF=CD=2t，∴DF=AE；

（2）能，

∵DF∥AB，DF=AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，

∴当t=10时，AEFD是菱形；

（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：

①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，

则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=，

②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，

则AE=2AD，即，解得：t=12，

综上所述，当t=或12时，△DEF为直角三角形.

3．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．

（1）求证：AD=EC；

（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．

【答案】（1）见解析；

（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可；

（2）由∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明.

【详解】

(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE=BD，

∵AD是边BC上的中线，

∴BD=DC，

∴AE=DC，

又∵AE∥BC，

∴四边形ADCE是平行四边形.

(2)证明：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线.

∴AD=CD

∵四边形ADCE是平行四边形，

∴四边形ADCE是菱形.

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.

4．如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F．

求证：AF=BF+EF．

【答案】详见解析.

【解析】

【分析】

由四边形ABCD为正方形，可得出∠BAD为90°，AB=AD，进而得到∠BAG与∠EAD互余，又DE垂直于AG，得到∠EAD与∠ADE互余，根据同角的余角相等可得出∠ADE=∠BAF，利用AAS可得出△