高等数学课件-第8章--多元函数微积分及其应用-8_1.pdfVIP

主要内容多元微积分、级数、微分方程等

学习方法与一元函数进行比较，注意多元函数

与一元函数的形同实异之处

多元函数的概念

二元函数的极限

二元函数的连续性

一、多元函数的概念

1.定义

2

例1Vπrhr,h(r=0,h0)可独立取值，

取定一组值，V随之确定.

例2电流通过电阻所作的功P与RIt

,,

PI2Rt

R,I,t可独立取值，取定一组值，P随之确定.

定义(二元函数)

设D是R2的一个非空子集，若对D中每一点

(x,y)，按照某一对应法则f，都有唯一的实数

z与之对应，则称f为定义在D上的二元函数.

记作zfxy，xy∈D

(,)(,)

其中：x,y−−自变量，z−−因变量，

D−−定义域，

f(D)zzf(x,y)，(x,y)∈D−−值域

{}

(1)(,,)

注类似可定义三元函数ufxyz

以及三元以上的函数.

例2表明P是R,I,t的三元函数.

二元及二元以上的函数统称为多元函数.

(2)数轴上的点↔实数xUf(x)

平面上的点↔(x,y)Uf(x,y)

空间上的点↔(x,y,z)Uf(x,y,z)



可统一简记为Uf(P)，称为点P的函数.

2.定义域的求法

二元函数zf(x,y)定义域D的求法.

一切使表达式有意义的自变量x,y所确定的

().

点的集合即具有某种意义的点的全体

22y

例3z1=−x−y

解1−x2−y2≥0，即x2+y2≤1

ox

记D:x2+y2≤1

或D{(x,y)x2=+y2≤1}D:x2+y2≤1

1

例4zln(x=+y)y

x

1

解x；

0