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大学物理 力学

——第四篇：运动的质量

清华大学电子工程系无13班蔡杨

导论：做功和能量是力学研究中的一个永恒的主题。从功能原理，到动能定理，到机械能守恒，到能量守恒，似乎已经成为了我们我学习

力学的一贯路径。但是本文毕竟不是正版教材，因此不会按常规套路出牌。我们将从不同于上述套路的几个方面来讨论功和能量。

由于我们以前主要是以地作为参考系，而且只研究单个质点，对于非惯性系和质点系统的认识还不够。本文将主要从这几个方面展开。

首先介绍几个定义：

保守力和耗散力（或称非保守力）：

保守力：做功和路径无关，只与始末位置有关的力叫做保守力。保守力都有其对应的势能。如：重力，静电场力等。

耗散力：做功和路径有关，而且通常伴随的是系统能量的减少（耗散）的力称为耗散力。耗散力无所谓势能。如：摩擦力。

质心系：与一个质点系统的质心固连的参考系叫做质心系。质心系威力之巨大，令人发指。许多力学问题在地面系中无从下手，但

在质心系中，只在弹指一笑之间。（它是个零动量参考系，即在此参考系中观测到的系统的总动量为0）

内力和外力：

内力：系统内部的成员之间的相互作用称为内力。

外力：系统内部成员以外的质元对系统内部成员的作用力称为外力。

恢复系数：实际物体都不是完美的刚体。两物体碰撞后的相对速度一般都比碰前要小。碰后速度同碰前速度的比值称为恢复系数。

其次给出几个基本定理：

非惯性系的功能原理：地参考系中的功能原理：

W外?W内非保

??E

?W一个质点系，以地为参考系：外界对系统所做的功

?W

W外?W内非保

内非保惯性力

??E??Ep保守惯性力

由于我们研究范围暂不涉及其他能量，因此右侧的?E特指机械能。

*质点系的动能定理（和《教程》不一样）：

假设一个质点系有n个质点，对其中的第i个质点用动能定理：

?dW

外?i

??

i?j

fji

?dri

?dEki

将系统内的所有质点的方程加起来，得到：

?dW外

??fjii?j

?(dri

?drj)

?dEk

即：在某个过程中，外力对系统所做的功和内力所做的功的和=质点系统总的动能的变化。

（这个讨论和《教程》不一样，仅作参考，如有谬误，请付之一笑）

非惯性系中的动能定理：

加个惯性力以后就和我们经常说的动能定理一样了。

（真实力+惯性力）对质点所做的功=质点动能的变化

质点系的柯尼希定理

（描述质点系在地参考系中的动能和在质心系中的动能的关系）：

注：下式中Ek表示对地动能，Ek表示对质心系动能。v表示对地速度，v表示对质心系速度，vc表示质心的速度。mi为第i个质点的质量，

M为整个系统的总质量。n表示质心系的质元个数。

n

n

Ek??

i?1

n??

n

mv2

ii

1 2

i?1

2mi(vc?vi)

n

n

??

i?1

mv2

ic

n

n

??

i?1

mv2

ii

n

n

??

i?1

(mivi)vc

?1Mv2?E?0

2 c k

上式利用了一个结论：

质心系是零动量参考系，

??n

(mivi)vc?0

i?1

即得到：

E?E?1Mv2

k k 2 c

瞬时的巨大作用（碰撞和爆炸）：

通常认为此过程动量守恒，能量不守恒（但是有个恢复系数e）。大家通常习惯于列两个方程：动量守恒+能量关系。实际上这里面蕴含了一个重大的秘密：上面那个二次方程组，不好解，我们可以写作一个

格式，但不用去解它。上面的方程组在物理意义上等价于：

□动量守恒㈠远离速度=e?接近速度

很多人不禁会问，二次方程组应该有两组解，怎么会等价于两个线性方程呢。我想反问一句，每次做这种题解出来俩解，你的答案一般是一个呢？还是两个呢？

那就让我们进入魔幻的能量题海吧：

eg1.(每次都能看到这一题)两个等高的小定滑轮相距为2m，物块A

和B的质量都是1kg，物块C的质量为

1.9kg。初始时两滑轮间的细绳水平，系统静

m 止。假设绳和滑轮的质量均不计，且不计滑轮轴上

2θ

的摩擦。当C下降0.75m时，试问：

CA、B、C的速度分别是多少。

C

A B

A、B、C的加速度分别是多少。

解答：本题很多辅导材料上都有，但有很多都是解错的。错误的原因一般都在于：他们认为第二小问答案是0。下面将证明这是不对的。在题文中研究的时刻，易得以下几何关系：

sinθ?4,cosθ?3,tanθ?4,

5 5 3

思路：一个机械能守恒就解决问题了。注意二者的速度关系即可。中间物块沿绳方向的分速度等于旁边物块的速度。然后就是

势能