题型01 5类不等式解题技巧（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、普通型糖水不等式与对数型糖水不等式）（原卷版）.docx

题型015类不等式解题技巧

（权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链、

普通型糖水不等式与对数型糖水不等式）

技法01权方和不等式的应用及解题技巧

技法01权方和不等式的应用及解题技巧

技法02柯西不等式的应用及解题技巧

技法03基本不等式链的应用及解题技巧

技法04普通型糖水不等式的应用及解题技巧

技法05对数型糖水不等式的应用及解题技巧

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技法01权方和不等式的应用及解题技巧

在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式或基本不等式链来求最值，实际解题中往往会遇到题干复杂的题目，此时对于学生来说思路繁琐，计算量大，耗时较长且不易求解，而权方和不等式的优势极其明显，可以做到快速求解甚至秒解，常在小题中使用.

权方和不等式的初级应用:若则当且仅当时取等.

(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)

广义上更为一般的权方和不等式，设,

若或,则;

若,则;

上述两个不等式中的等号当且仅当时取等

（2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是．

1．求的最大值为

2．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为.

1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，且，则的最小值为（????）

A．4 B．6 C．8 D．10

2．设，，若，则的最小值为.

3．已知正实数，满足，则的最小值为.

4．已知正数，，满足，则的最小值为

5．已知，求的最小值为

技法02柯西不等式的应用及解题技巧

若不等式题目以选择填空推出时，通过柯西不等式，观察系数的关系，配凑出题设的问题，柯西不等式往往起到秒杀作用.

1.二维形式的柯西不等式

a2+b2c2+d2≥ac+bd2(a,b,c,d∈R,当且仅当

已知x，y，z满足，则的最小值为.

1．用柯西不等式求函数的最大值为

A． B．3 C．4 D．5

2．已知、、，.则的最小值是.

1．函数的最小值为．

2．由柯西不等式，当时，求的最大值为（????）

A．10 B．4 C．2 D．

3．设.则函数的最小值是????.

4．设非负实数、、满足．则的最小值为．

技法03基本不等式链的应用及解题技巧

本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查.

基本不等式链:,当且仅当时,等号成立.

其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.

（2022·全国·新高考Ⅱ卷高考真题）（多选）若x，y满足，则（????）

A． B．

C． D．

1．（2024·贵州贵阳·一模）（多选）已知，且，则（????）

A． B．

C． D．

1．（2024·河北沧州·二模）（多选）已知实数满足，则（????）

A． B．

C． D．

2．（2024·重庆渝中·模拟预测）（多选）已知实数满足，则（????）

A． B．

C． D．

技法04普通型糖水不等式的应用及解题技巧

在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.

糖水不等式定理:

若,则一定有

通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;

2.糖水不等式的倒数形式:

设,则有:

（2020·全国·统考高考真题）已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（????）

A．abc B．bac C．bca D．cab

1．（2024·全国模拟）（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（????）

A． B．

C． D．

2．试比较的大小（填””或””或”=”）

3．(用“”或“”填空)

1．如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：．

(1)证明糖水不等式；

(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：．

若等比数列前项和为,比较与的大小

技法05对数型糖水不等式的应用及解题技巧

在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解.

(1)设,且,则有

(2)设,