2024-2025学年上海市杨浦区高三上学期期中考试数学检测试题（含解析）.docx

2024-2025学年上海市杨浦区高三上学期期中考试数学

检测试题

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.不等式的解集是________．（结果用区间表示）

2.已知全集，集合，；则________．（结果用区间表示）

3.已知函数，则______，

4.函数的最小正周期为_______.

5.已知向量，，若，则__________.

6.在二项式展开式中，前三项的系数依次成________数列．（填写“等差”或“等比”）

7.已知函数的导数存在，的部分图像如图所示，设是由曲线与直线，及轴围成的平面图形的面积，则在区间上，的最大值在________处取到.

8.班级4名学生报名参加两项区学科竞赛，每人至少报一项，每项比赛参加的人数不限，则不同的报名结果有________种．（结果用具体数字表示）

9.过抛物线的焦点，倾斜角为的直线交抛物线于（），则的值__________．

10.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第2球投进的概率为，则他第1球投进的概率为__________.

11.某沿海四个城市位置如图所示，其中，，mile，?mile，?mile，位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发向直线航行，一段时间到达后，轮船收到指令改向城市直线航行，收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度，则_________.

12.已知空间单位向量，，，，，则最大值是________．

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）．

13.函数是（）

A.偶函数，且没有极值点 B.偶函数，且有一个极值点

C.奇函数，且没有极值点 D.奇函数，且有一个极值点

14.已知，，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

15.设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（）

A. B. C. D.

16.已知，则下列结论正确的个数是（）

①存在实数解；

②共有个不同的复数解；

③复数解的模长都等于；

④存在模长大于的复数解．

A. B. C. D.

三、解答题（满分78分，共有5题）．

17.已知函数为奇函数．

（1）求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）；

（2）若存在实数，使得成立，求实数的取值范围．

18.如图所示，已知三棱台中，，，，，．

（1）求二面角余弦值；

（2）设E、F分别是棱、的中点，若平面，求棱台的体积．

19.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）求样本成绩的；

（3）已知落在50,60的平均成绩是54，方差是7，落在60,70的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．

20.如图，在平面直角坐标系中，该点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，，直线、斜率分别记为，.

（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；

（2）若，求证为定值并求出该定值；

（3）在（2）的情况下，求的最大值.

21.已知，函数.

（1）当时，证明：；

（2）若恒成立，求a的取值范围；

（3）设集合，对于正整数m，集合，记中元素的个数为，求数列的通项公式.

2024-2025学年上海市杨浦区高三上学期期中考试数学

检测试题

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.不等式的解集是________．（结果用区间表示）

【正确答案】

【分析】利用分解因式的方法求解不等式.

【详解】不等式，解得，

所以不等式的解集为.

故

2.已知全集，集合，；则________．（结果用区间表示）

【正确答案】

【分析】根据集合的运算可求得结果.

详解】由题可得，

则，

故答案为.

3.已知函数，则______，

【正确答案】

【分析】推导出，从而，由此能求出结果．

【详解】解：∵函数，

∴，

．

故答案为．

本题主要考查了函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想，是基础题．

4.函数的最小正周期为_______.

【正确答案】

【分析】将三角函数进行降次，然后通过辅助角公式化为一个名称，最后利用周期公式得到结果.

【详解】，.

本题主要考查二倍角公式，及辅助角