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2024年春九年级数学中考复习《问题发现-探究-拓展-应用型综合压轴题》

专题突破训练（附答案）

1．综合与实践

综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两

直线a//b，三角形ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ是直角三角形，∠ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=90°,∠ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=30°,∠ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=60°

操作发现：

（1）如图1，若∠1=48°，则∠2=_______°；

（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，在证明这个

结论时，组内同学小明说可以过B点作直线a的平行线进行等角转化，小丽说可以设∠1=ᵯᵯ，将∠2用含ᵯᵯ的

式子表示出来进行证明，请你帮创新小组完成这个结论的证明（可以用小明、小丽的方法证明，也可以用

其它方法进行证明）．

拓展探究：

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、∠ᵃᵃᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃᵃ=ᵃᵃ∠ᵃᵃᵃᵃ，ᵃᵃᵃᵃ

（3）如图3，缜密小组在图2中的基础上作射线ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ相交于ᵃᵃ点G，且∠ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=

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则∠ᵃᵃᵃᵃ的度数为ᵃᵃ_______．

2．在△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ和△ᵃᵃᵃᵃ中，点ᵃᵃᵃᵃ在ᵃᵃᵃᵃ上，∠ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃᵃ，ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=ᵃᵃᵃᵃ，ᵃᵃᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=ᵅᵅ，ᵃᵃᵃᵃ连接ᵃᵃ．ᵃᵃ

(1)特例发现：如图1，当ᵅᵅ=1时．求证：ᵃᵃ=ᵃᵃᵃᵃ．ᵃᵃ

(2)探究证明：如图2，当ᵅᵅ≠1时．判断ᵃᵃ与ᵃᵃᵃᵃ的数ᵃᵃ量关系，并说明理由．

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(3)拓展延伸：若ᵅᵅ=√，∠ᵃᵃᵃᵃ=90°ᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ25，求ᵃᵃ的ᵃᵃ长．

√

2

3．如图，△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ和△ᵃᵃᵃᵃ的顶ᵃᵃ点ᵃᵃ重合，∠ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃ=ᵃᵃ90°ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃ=ᵃᵃᵃᵃ30°，ᵃᵃᵃᵃ=3，ᵃᵃ=ᵃᵃ2．

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(1)特例发现：如图1，当点ᵃᵃ，ᵃᵃ分别在ᵃᵃᵃᵃ，ᵃᵃᵃᵃ上时，可以得出结论：ᵃᵃᵃᵃ

=______，直线ᵃᵃᵃᵃ与直线ᵃᵃᵃᵃ的位

ᵃᵃᵃᵃ

置关系是______；

(2)探究证明：如图2，将图1中的△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ绕点ᵃᵃ顺时针旋转，使点ᵃᵃ恰好落在线段ᵃᵃᵃᵃ上，连接ᵃᵃᵃᵃ，（1）中的

结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图3，将图1中的△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ绕点ᵃᵃ顺时针旋转ᵯᵯ(19°ᵯᵯ60°)，连接ᵃᵃᵃᵃ、ᵃᵃᵃᵃ，它们的延长

()

线交于点ᵃᵃ，当ᵃᵃᵃᵃ=ᵃᵃᵃᵃ时，求tan60°−ᵯᵯ的值．

4．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的

直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF；取AF中点M，EF的

中点N，连接MD，MN．

(1)连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；

猜想与发现：

(2)在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，