查补培优冲刺04 二次函数与几何的综合压轴（解析版）.docxVIP

查补培优冲刺04.二次函数与几何的综合压轴

题型一：二次函数与角度问题

题型二：二次函数与相似（全等）

题型三：二次函数与特殊三角形

题型四：二次函数与特殊四边形

题型五：二次函数与定值、定点

题型六：二次函数与几何最值（范围）

题型七：二次函数与新定义几何图形

题型一：二次函数与角度问题

1.二次函数与角度综合问题，常见类型：

?1）特殊角问题：（1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2）?遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。

2）角的数量关系问题

（1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质或构造圆，利用圆周角的性质来解决；

（2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答；

（3）角的和差问题：角度和为90度、45度等。

例1．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．(1)请直接写出，的值；(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．

①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．

【答案】(1)，(2)①；②2或

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①过点作轴平行线分别交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，则，进而可得，求得直线的解析式为，设，则，进而表示出，最后根据二次函数的性质即可求解．②根据已知，令，，在上取点，使得，得出，然后根据，设，．进而分两种情况讨论，ⅰ当时，，则相似比为，得出代入抛物线解析式，即可求解；ⅱ当时，，同理可得，代入抛物线解析式即可求解．

【详解】（1）∵二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点

∴解得：∴，，；

（2）①如图1，过点作轴平行线分别交、于、．

∵，当时，，∴，

∴，，∴，∴．

∵，，∴，

∴，∴，∴．∵

设直线的解析式为∴解得：直线解析式为．

设，，，

当时，取得最大值为，的最大值为．

②如图2，已知，令，则，

在上取点，使得，∴，

设，则，则，解得，

∴，即．

如图3构造，且轴，相似比为，

又∵，设，则．

分类讨论：ⅰ当时，则，

∴与的相似比为，∴，，

∴，代入抛物线求得，（舍）．∴点横坐标为．

ⅱ当时，则，∴相似比为，

∴，，∴，

代入抛物线求得，（舍）．∴点横坐标为．综上所示，点的横坐标为2或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，线段长的最值问题，相似三角形的性质与判定，正切的定义．利用分类讨论的思想并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

变式1．（2024·江苏扬州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值；

(3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．

??

【答案】(1)(2)1(3)

【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合：

（1）把抛物线设为顶点式即可得到答案；（2）先求出，进而求出直线解析式为；如图所示，过点D作轴，交于E，设，则，可得；进而得到，据此可得答案；（3）利用勾股定理得到，，，则，可得，利用三角形外角的性质证明，进而证明，得到，设，则，可得，则当时，有最大值，最大值为1，即点F的横坐标的最大值为．

【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，

∴抛物线解析式为；

（2）解：在中，当时，解得或，

∴；设直线解析式为，

∴，∴，∴直线解析式为；

如图所示，过点D作轴，交于E，设，则，

∴；

∴，

∵，∴当时，有最大值，最大值为1；

（3）解：∵，，∴，，，∴，∴，

∵，，∴，

∵，∴，∴，

∴，设，则，∴，

∴，∴当时，有最大值，最大值为1，

∴点F的横坐标的最大值为．

变式2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．

【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；(2)(3)

【分析】（1）分别令等于0，即可求得的坐标，根据，即可求得；