清单08 抛物线及其性质（清单 导图 考点 题型 变式 ）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）（原卷版）.docx

清单08抛物线及其性质（2个考点梳理+7题型解读+变式训练）

【清单01】抛物线的定义

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．

【清单02】抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

图形

标准

方程

顶点

范围

，

，

，

，

对称轴

轴

轴

焦点

离心率

准线方程

焦半径

【方法技巧与总结】

1、点与抛物线的关系

（1）在抛物线内（含焦点）．

（2）在抛物线上．

（3）在抛物线外．

2、焦半径

抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．

3、的几何意义

为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．

4、焦点弦

若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：

（1）．

（2）．

（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．

焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．

（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．

5、抛物线的弦

若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则

（1）弦长公式：

（2）

（3）直线AB的方程为

（4）线段AB的垂直平分线方程为

6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）

（1）焦点为，准线为

（2）焦点为，准线为

如，即，焦点为，准线方程为

7、参数方程

的参数方程为（参数）

8、切线方程和切点弦方程

抛物线的切线方程为，为切点

切点弦方程为，点在抛物线外

与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．

9、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．

对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．

10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：

11、焦点弦的常考性质

已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．

（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；

（2），

（3）；

（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上

考点题型一：抛物线的定义与方程

【典例1-1】（2024·高二·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（???）

A． B． C． D．

【典例1-2】（2024·高二·河南驻马店·期中）已知动点满足，则动点P轨迹是（???）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式1-2】（2024·高二·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（????）

A． B．

C． D．

【变式1-3】（2024·高二·广西梧州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（????）

A． B． C． D．

【变式1-4】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（????）

A．或 B．或

C．或 D．或

考点题型二：抛物线的轨迹方程

【典例2-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（????）

A． B． C． D．

【典例2-2】（2024·高二·山东烟台·期末）若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）

A． B．

C． D．

【变式2-1】（2024·高二·甘肃兰州·期末）若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（????）

A． B．

C． D．

【变式2-2】（2024·高三·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是．

【变式2-3】（2024·高二·上海宝山·期末）动点在曲线上移动，则点和定点连线的中点的轨迹方程是.

【变式2-4】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）如图，已知点A(6,4)，AB⊥x轴于点B，E点是线段OA上任意一点，EC⊥AB于点C，ED⊥x轴于点D，OC与ED相交于点F，求点F的轨迹方程.

考点题型三：与抛物线有关的距离和最值问题

【典例3-1】（2024·高二·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为．

【典例3-2】（2024·高二·河北保定·期末）已知，，是抛物线C：上的一点，则周长的最小值为．

【变式3-1】（2024·高二·湖北武汉·期末）已知点是抛物线上一动点，则的最小值为．

【变式3-2】（