第18讲 相似三角形的性质（6大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）.docxVIP

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第18讲相似三角形的性质

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．了解相似三角形的性质；

2．能用相似三角形的性质解决简单问题。

1.回顾相似三角形的判定

2.我们知道，当D、E、F分别是三角形各边中点时，▲DEF~▲ABC，相似比是，这两个三角形的周长、面积分别有什么关系？

由题意得

所以，,它们的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。

3.验证猜想

如果△ABC∽△A′B′C′相似比为k，那么k，

于是，，，

所以，

如图，△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是对应高．

∵△ABC∽△ABC，∴∠B＝∠_B′___，∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，

∴∠ADB＝∠_A′D′B′_＝90°，∴△ABD∽△_A′D′B′______，∴

＝__k__，

k*k=k2

所以

相似三角形周长之比等于相似比，同理可得，相似多边形周长之比等于相似比；

相似三角形面积之比等于相似比的平方，同理可得，相似多边形面积之比等于相似比的平方。

4.在证明相似三角形面积的比等于相似比的平方过程中，我们发现相似三角形对应高之比等于相似比，那么对应中线、对应的角平分线之比呢？

探究一（中线）：

△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，设相似比为k，那么

∵

∵

∴,

∵AD和A′D′分别是▲ABC和▲A′B′C′的中线

∴,,

∴

∴

∴▲ABD~

∴

结论：相似三角形对应中线的比等于__相似比_________．

探究二（角平分线）：

△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，设相似比为k，那么

∵△ABC∽△A′B′C′，

∴∠BAC＝∠_B′A′C′______，∠B＝__B′_______．

∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，

∴∠BAC，∠B′A′C′;

∴∠BAD＝∠_B′A′D′_，∴△ABD∽△_A′B′D_′_，

∴k．

结论：相似三角形对应角平分线的比等于___相似比________．

一般地，如果△ABC∽△ABC，相似比为k，点D、D分别在BC、BC上，且，那么。你能类比刚才的方法说理吗？

总结：相似三角形对应____线段____的比等于相似比．

5.射影定理：母子三角形

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

①AD2=BD?DC；②AB2=BD?BC；AC2=CD?BC．

考点一：重心的性质

例1．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（????）

A．1 B．2 C．3 D．6

【变式1-1】如图所示，在中，，点D是斜边的中点，点G是的重心，于点E，若，那么的长为（????）．

A．1 B．2 C．3 D．

【变式1-2】如图，在中，、分别是，的中点，与相交于点，若，则．

【变式1-3】阅读与思考：

三角形的重心

定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．

三角形重心的一个重要性质：

重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．

下面是小明证明性质的过程．

如图，在中，D、E分别是边、的中点，、相交于点G，

求证：

证明：连接，

∵D，E是边，的中点，

∴，（依据1）

∴

∴（依据2）

∴

(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：

依据1：______________________依据2：______________________

(2)应用

①如图，在中，点G是中的重心，连接并延长交与点E，若，求长．

②在中，中线、相交于点O，若的面积等于30，求的面积．

考点二：相似三角形的性质求解

例2.若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（????）

A． B． C． D．

【变式2-1】如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为（）

A． B． C． D．

【变式2-2】已知，若与的对应边之比为，则与的面积之比为．

【变式2-3】如图，四边形中，，P为边上的一个