第13讲 弧长及扇形的面积（6大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）.docxVIP

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第13讲弧长及扇形的面积

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．经历探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的活动过程；

2．会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式计算有关问题。

1.填写下列扇形的面积与周长

圆心角

半径

周长

面积

图形

360

r

180

r

90

r

30

r

n

r

弧长：

因此，半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：C=2πR

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：l=(弧是圆的一部分)。

注：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，

即；（2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

扇形面积：

（1）定义：叫做扇形

（2）面积公式：半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：；n°的圆心角所对的扇形面积公式：

注：（1）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，

即；（2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.（3）扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；（4）扇形两个面积公式之间的联系：

.

考点一：求弧长

例1．如图，在中，点A、B、C在圆上，，的半径的长为2，则劣弧的长是（）

A． B． C． D．

【变式1-1】中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄长为，折扇张开后的扇形圆心角为，则的长为（???）

A． B． C． D．

【变式1-2】如图，，，两两不相交且半径都是3，则图中三个阴影扇形的弧长之和为．

【变式1-3】如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，．

(1)求证：是半圆O的切线；

(2)当时，求的长．

考点二：求扇形半径

例2．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（????）

A．24 B．36 C．12 D．6

【变式2-1】已知一条圆弧的度数为，弧长为，则此圆弧的半径为（）

A．15 B．30 C． D．

【变式2-2】一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为（用含的式子表示）．

【变式2-3】一弧长为18.84厘米，所对的圆心角为270°，求该弧所在圆的半径．（取3.14）

考点三：求圆心角

例3.如图所示的是一个几何体的三视图，其侧面展开图的圆心角的度数为（????）

??

A． B． C． D．

【变式3-1】一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（????）

A． B． C． D．

【变式3-2】已知扇形的半径为9，弧长为，则它的圆心角是度．

【变式3-3】如图，若，求圆心角x的度数．

考点四：求扇形面积

例4．如图，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为（????）

A． B． C． D．

【变式4-1】如图1所示，点C是半圆上一个动点，点C从点A开始向终点B运动的整个过程中，的长l与时间t（秒）的函数关系如图2所示，则点C运动3秒时，扇形的面积为（???）

A． B． C． D．

【变式4-2】如图，A，B，C，D，E是上的五个点，．若的半径为6，，则图中阴影部分的面积为．

【变式4-3】如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．

考点五：求弓形面积

例5．如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（????）

????

A． B． C． D．

【变式5-1】如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（????）

A． B． C． D．

【变式5-2】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5