精品解析：重庆市南开中学高2024-2025学年高三上学期12月初数学测试卷（原卷版）.docxVIP

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重庆南开中学高2025级高三（上）数学测试（12.1）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1.已知等差数列的前n项和为，若，则（）

A.7 B.14 C.21 D.42

2.已知复数，则（）

A.2 B. C.1 D.0

3.已知直线和，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知圆：，直线：，则当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为，则的取值为（）

A. B. C. D.

5.已知椭圆左、右焦点分别为，，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得，，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

6.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（）

A. B. C. D.4

7.已知抛物线C：的焦点为，直线与C交于A，B两点，则（）

A.18 B.16 C.6 D.4

8.设无穷等差数列的公差为，集合.则（）

A.不可能有无数个元素

B.当且仅当时，只有1个元素

C.当只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为

D.当时，最多有个元素，且这个元素的和为0

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．

9.在数列和中，，，，下列说法正确的有（）

A. B.

C.36是与的公共项 D.

10.已知椭圆，不经过原点、斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，为线段的中点.下列结论正确的是（）

A.直线与垂直

B.若点M坐标为，则直线方程为

C.若直线方程，则点M坐标为

D.若直线方程为，则

11.已知直线l经过点，曲线，下列说法正确的（）

A.当直线l与曲线有2个公共点时，直线l斜率的取值范围为

B.当直线l与曲线有奇数个公共点时，直线l斜率的取值共有4个

C.当直线l与曲线有4个公共点时，直线l斜率的取值范围为

D.存在定点Q，使得过Q的任意直线与曲线的公共点的个数都不可能为2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若点A在第一象限，且，则直线AB的倾斜角为___________.

13.已知圆，直线，直线l被圆C截得的最短弦长为________．

14.椭圆C：的左右焦点分别为、，点M为其上的动点.当为钝角时，点M的横坐标的取值范围是________

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知圆C的半径为1，圆心既在直线上又在直线上.

（1）求圆C的标准方程

（2）过点作圆C的切线，求切线方程．

16.已知双曲线与椭圆有相同的焦点.

求双曲线的方程；

以为中点作双曲线的一条弦，求弦所在直线的方程.

17.某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.

20

66

770

200

14

460

4.20

3125000

0308

21500

（1）设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型.

（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；

（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.

附：；样本相关系数；经验回归方程，其中.

18.已知椭圆（，）的左、右焦点分别为、，左顶点为A，点P、Q为C上关于坐标原点O对称的两点，且，且四边形的面积为.

（1）求椭圆C标准方程；

（2）若斜率不为0的直线过椭圆C的右焦点且与椭圆C交于G、H两点，直线、与直线分别交于点M、N.求证：M、N两点的纵坐标之积为定值.

19.已知函数．

（1）若曲线和直线相切，求a的值；

（2）若存在两个不同a，使得的最小值为0，求证：．