北京改版九年级数学上册专项素养综合练(七)证明圆的切线常用的三种方法课件.ppt

专项素养综合全练(七)证明圆的切线常用的三种方法(练方法)方法一见半径,证垂直1.(2024北京西城三帆中学月考)如图,在△ABC中,AB=AC,以

AC为直径的☉O分别交AB,BC于点D,E,过点C作∠BCF,使得

∠BCF=?∠BAC,交AB的延长线于点F.(1)求证:CF是☉O的切线;(2)若BD=2,CE=?,求FB的长.解析????(1)证明:∵AC为☉O的直径,∴∠AEC=90°,∴∠EAC+

∠ECA=90°,又∵AB=AC,∴∠CAE=?∠BAC,∵∠BCF=?∠BAC,∴∠EAC=∠BCF,∴∠BCF+∠ECA=90°,即∠ACF=90°,∵AC为☉O的直径,∴CF是☉O的切线.(2)连接CD,∵AB=AC,∠AEC=90°,∴BC=2CE=2?,∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=∠CDF=90°,∴CD=?=?=4,设AB=AC=x,则AD=x-2,在Rt△ADC中,AD2+DC2=AC2,即(x-2)2+42=x2,解得x=5,∴AB=AC=5,AD=3,又∵∠ADC=∠ACF=90°,∠CAD=∠FAC,∴△ACD∽△AFC,∴?=?,即?=?,解得AF=?,∴FB=AF-AB=?-5=?.2.(2022山东聊城中考)如图,点O是△ABC的边AC上一点,以

点O为圆心,以OA的长为半径作☉O,与BC相切于点E,交AB

于点D,连接OE,连接OD并延长交CB的延长线于点F,∠AOD

=∠EOD.(1)连接AF,求证:AF是☉O的切线;(2)若FC=10,AC=6,求FD的长.解析????(1)证明:在△AOF和△EOF中,?∴△AOF≌△EOF(SAS),∴∠OAF=∠OEF,∵BC与☉O相切,∴OE⊥FC,∴∠OEF=90°,∴∠OAF=90°,即OA⊥AF,∵OA是☉O的半径,∴AF是☉O的切线.(2)在Rt△CAF中,∠CAF=90°,FC=10,AC=6,∴AF=?=8,∵∠OCE=∠FCA,∠OEC=∠FAC=90°,∴△OEC∽△FAC,∴?=?.设☉O的半径为r,则?=?,解得r=?,在Rt△FAO中,∠FAO=90°,AF=8,AO=?,∴OF=?=??,∴FD=OF-OD=??-?,即FD的长为??-?.方法二无切点,作垂直,证半径3.(2022北京东城二模)如图,在△ABC中,ABAC,∠BAC=90°,

在CB上截取CD=CA,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,以点A

为圆心,以AE的长为半径作☉A.(1)求证:BC是☉A的切线;(2)若AC=5,BD=3,求DE的长.解析????(1)证明:过点A作AF⊥CD于点F,如图,∵CD=CA,∴∠CAD=∠CDA,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,∴∠BAD+∠CDA=90°.∵DE⊥AB,∴∠BAD+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠CDA.∵AE⊥DE,AF⊥CD,∴AE=AF,∴AF为☉A的半径,∴BC是☉A的切线.(2)∵CD=CA,AC=5,∴CD=5,∴BC=BD+CD=8.∵DE⊥AB,AC⊥AB,∴DE∥AC,∴△BDE∽△BCA,∴?=?,∴?=?,∴DE=?.4.如图,AB是☉O的直径,AM,BN分别切☉O于点A,B,CD交

AM,BN于点D,C,DO平分∠ADC.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若AD=4,BC=9,求OD的长.?解析????(1)证明:如图,过O点作OE⊥CD于点E,∵AM切☉O于点A,∴OA⊥AD.∵DO平分∠ADC,∴OE=OA.∵OA为☉O的半径,∴OE是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.?(2)如图,过D作DF⊥BC于F,∵AB是☉O的直径,AM,BN分别切☉O于点A,B,∴AB⊥AD,AB⊥BC,∴四边形ABFD为矩形,∴BF=AD=4,∴CF=BC-BF=5.∵DC,AM,BC为☉O的切线,∴DE=DA=4,CE=CB=9,∴DC=DE+CE=13.在Rt△DCF中,DF=?=12,∴AB=12,∴OA=6,在Rt△OAD中,OD=?=?=2?.