概率论与数理统计 方差.ppt

关于概率论与数理统计方差4.2.1方差的概念与计算定义4.3设X是随机变量，若E{[X–E(X)]2}存在，则称其为X的方差，记为D(X)(或Var(X))，即称为X的标准差．特别地，如果X是离散型随机变量，分布律为则如果X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则第2页,共25页，星期六，2024年，5月将方差定义式右端展开，并利用数学期望性质可得即今后我们会经常利用这个式子来计算随机变量X的方差D(X).4.2.1方差的概念与计算第3页,共25页，星期六，2024年，5月【例4.13】求例4-2中随机变量X的方差D(X).解：由于1161所以4.2.1方差的概念与计算第4页,共25页，星期六，2024年，5月4.2.1方差的概念与计算【例4.14】设随机变量X服从参数为λ（λ0）的泊松分布，求D(X)．解：由于X的分布律为，k=0，1，2，…，在例4-4中已经求出，下面计算E(X2)：故第5页,共25页，星期六，2024年，5月4.2.1方差的概念与计算【例4.15】设随机变量X服从参数为?（?0）的指数分布，求D(X)．解：由于指数分布的概率密度为在例4-7中已求出，故有第6页,共25页，星期六，2024年，5月4.2.1方差的概念与计算【例4.16】设随机变量X服从(a，b)上的均匀分布，求D(X)．解：由于均匀分布的概率密度为所以第7页,共25页，星期六，2024年，5月4.2.1方差的概念与计算【例4.17】设(X，Y)的概率密度为求D(X)及D(Y)．解：记D：|y|x，0x1，如图，则,第8页,共25页，星期六，2024年，5月4.2.1方差的概念与计算【例4.18】已知随机变量X的概率密度为又E(X)=0.5，D(X)=0.15，求a，b，c．解：由于从上面三个方程中可以解得a=12,b=–12,c=3．第9页,共25页，星期六，2024年，5月4.2.2方差的性质(1)设c是常数，则D(c)=0；(2)设c是常数，X是随机变量，则D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；(3)设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)；(4)D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数c，即P{X=c}=1．第10页,共25页，星期六，2024年，5月4.2.2方差的性质(1)设c是常数，则D(c)=0；证明：(2)设c是常数，X是随机变量，则D(cX)=c2D(X)，D(X+c)=D(X)；证明：第11页,共25页，星期六，2024年，5月4.2.2方差的性质(3)设X，Y是两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X–E(X)][Y–E(Y)]}；特别，当X，Y是相互独立的随机变量时，有D(X+Y)=D(X)+D(Y)；证明：当X，Y是相互独立的随机变量时，第12页,共25页，星期六，2024年，5月4.2.2方差的性质性质(4)证明从略.由性质(2)和(3)容易推广