清单03 圆的方程（清单 导图 考点 题型 变式 ）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）（解析版）.docx

清单03圆的方程（3个考点梳理+6题型解读+变式训练）

【清单01】圆的方程

1、圆的标准方程

，其中为圆心，为半径．

2、圆的一般方程

当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．

诠释：由方程得

（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．

（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．

3、用待定系数法求圆的方程的步骤

求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

（1）根据题意，选择标准方程或一般方程．

（2）根据已知条件，建立关于或的方程组．

（3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．

【清单02】点和圆的位置关系

如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有

（1）若点在圆上

（2）若点在圆外

（3）若点在圆内

【清单03】轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程．

（1）当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．

（2）求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．

（3）求轨迹方程的步骤：

①建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标；

②列出关于的方程；

③把方程化为最简形式；

④除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；

⑤作答．

考点题型1：圆的标准方程

【典例1-1】（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（???）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设，的圆心，半径，

由题意则与关于直线对称，

所以，解得，

所以圆的标准方程为，

故选：A

【典例1-2】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由在圆上，故圆心在直线上，

由在圆上，故圆心在直线上，

即圆心，半径，

故方程为.

故选：A.

【变式1-1】（24-25高二上·浙江台州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设圆心为，

由题意得，即，

解得，故圆心，

半径为，

故圆的标准方程为.

故选：C

【变式1-2】（24-25高二上·河南濮阳·期中）若圆过，两点，则当圆的半径最小时，圆的标准方程为（???）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】依题意，线段的中点，，

圆过，两点，当圆的半径最小时，线段为圆的直径，

所以圆的标准方程为.

故选：D

【变式1-3】（22-23高二下·河南开封·期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为2，

设圆心关于直线的对称点为，

则，解得，

所以圆的标准方程为.

故选：A

考点题型2：圆的一般方程

【典例2-1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（???）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设的外接圆方程为，

因为O0,0，，，

所以，解得，

所以的外接圆方程为.

故选：D.

【典例2-2】（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设圆C的方程为，则圆心，

则有，解之得,

则有圆C的方程为，即

故选：C

【变式2-1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】直线与两坐标轴的交点为，

则，

则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为，

所以以为直径的圆的方程为，

化简得：.

故选：A

【变式2-2】（22-23高二上·河南驻马店·期末）以，为直径两端点的圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】，，

的中点坐标为，

以为直径的圆的圆心为，又，

圆的半径为1，

以为直径的圆的方程为即.

故选：A.

【变式2-3】（22-23高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（???）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】设所求圆方程为,

因为，，三点都在圆上，

所以，解得，

即所求圆方程为：.

故选：C.

考点题型3：点与圆的位置关系

【典例3-1】（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（???）

A．