专题02 二次根式【考点精讲】（解析版）.docxVIP

考点02二次根式

一、二次根式及相关概念

1．二次根式：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．

2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下条件：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）数被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因或因式．

3．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式称为同类二次根式．如eq\r(8)与eq\r(2)是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．

二、二次根式的性质

（1）()2＝a(a≥0)．

（2）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a0）.))

（3）＝·(a≥0，b≥0)．

（4）(a≥0，b0)．

（5）双重非负性：二次根式?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(被开方数a≥0,\r(a)≥0))

三、二次根式的运算

1．二次根式的加减：先将各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．

2．二次根式的乘除

（1）二次根式的乘法：·＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)；

（3）二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式或整式．

3．二次根式的开方：＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))

4．二次根式的混合运算

在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：

（1）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；

（2）加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；

（3）多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；

（4）二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．

【考点1】二次根式的概念

【例1】（2022·江苏连云港）函数中自变量的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解．

【解析】解：∵，∴．故选A．

【例2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．

【解析】A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；

B.，与不是同类二次根式；

C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；

D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．

故选：C．

【例3】下列各式是最简二次根式的是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．

【解析】解：A、是最简二次根式，故选项正确；

B、=，不是最简二次根式，故选项错误；

C、，不是最简二次根式，故选项错误；

D、，不是最简二次根式，故选项错误；

故选A.

牢记二次根式相关概念：

1．二次根式：式子叫做二次根式.注意被开方数a只能是非负数.

2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.

3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.

1．（2022·湖南衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数求解可得．

【详解】根据题意知≥0，解得，故选：B．

2．（2022·广西桂林）化简的结果是（???????）

A．2 B．3 C．2 D．2

【答案】A

【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为2．

【详解】解：＝2，

故选：A．

3．下列各式中与是同类二次根式的是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.

【详解】解：A、和是最简二次根式，与的被开方数不同，故A选项错误；

B、，3不是二次根式，故B选项错误；

C、，与的被开方数相同，故C选项正确；

D、，与的被开方数不同，故D选项错误；

故选：C.

4．（2022·云南）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．

【答案】x≥﹣1

【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x+1≥0，即可求得．

【详解】解：∵代数式有意义∴x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．

5．（2022·四川南充）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．

【答案】4或7或8

【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可