专题02 二次根式【考点精讲】（原卷版）.docxVIP

考点02二次根式

一、二次根式及相关概念

1．二次根式：形如(a)的式子叫做二次根式．

2．最简二次根式：最简二次根式必须同时满足以下条件：

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）数被开方数不含分母，被开方数不含能的因或因式．

3．同类二次根式：几个二次根式化成后，如果相同，这几个二次根式称为同类二次根式．如eq\r(8)与eq\r(2)是同类二次根式．同类二次根式可以合并，合并同类二次根式与合并同类项类似．

二、二次根式的性质

（1）()2＝a(a≥0)．

（2）＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a0）.))

（3）＝·(a≥0，b≥0)．

（4）(a≥0，b0)．

（5）双重非负性：二次根式?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(被开方数a≥0,\r(a)≥0))

三、二次根式的运算

1．二次根式的加减：先将各二次根式化为，然后合并同类二次根式．

2．二次根式的乘除

（1）二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)；(2)二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)；

（3）二次根式的运算结果一定要化成．

3．二次根式的开方：＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a＜0）.))

4．二次根式的混合运算

在进行二次根式的混合运算时，应注意以下几点：

（1）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序相同，即先乘方，再乘除，最后算加减，有括号要先去括号；

（2）加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和对加法的分配律在二次根式的混合运算中仍然适用；

（3）多项式的乘法公式仍然适合于二次根式的运算；

（4）二次根式混合运算的结果要化为最简二次根式．

【考点1】二次根式的概念

【例1】（2022·江苏连云港）函数中自变量的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【例2】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）

A． B． C． D．

【例3】下列各式是最简二次根式的是（）

A． B． C． D．

牢记二次根式相关概念：

1．二次根式：式子叫做二次根式.注意被开方数a只能是非负数.

2．最简二次根式：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.

3．同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.

1．（2022·湖南衡阳）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

2．（2022·广西桂林）化简的结果是（???????）

A．2 B．3 C．2 D．2

3．下列各式中与是同类二次根式的是（）

A． B． C． D．

4．（2022·云南）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．

5．（2022·四川南充）若为整数，x为正整数，则x的值是_______________．

【考点2】二次根式的性质

【例4】（2021·湖南娄底市）是某三角形三边的长，则等于（）

A． B． C．10 D．4

1．（2022·四川凉山）化简：＝（???????）

A．±2 B．－2 C．4 D．2

2．（2022·河北·一模）已知，则代数式的值为（????）

A． B． C． D．

3．（2022·四川遂宁）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______．

【考点3】二次根式的运算

【例5】（2022·山东青岛）计算的结果是（???????）

A． B．1 C． D．3

【例6】（2022·四川宜宾）《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．

【例7】计算下列各题

（1