强基计划专题练02 函数与导数（原卷版）.docxVIP

专题训练02函数与导数

一、单选题

1．设函数，则（????）

A．函数有且仅有一个零点

B．对，，函数有且仅有一个零点

C．，恒成立

D．，恒成立

2．已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则（????）

A． B． C． D．

3．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（????）

A． B．

C．数列是递增数列 D．

4．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（????）

A． B．

C． D．

5．设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（????）

A． B．

C．， D．

二、多选题

6．定义：若数列满足，则称为“Titus双指数迭代数列”.已知在“Titus双指数迭代数列”中，首项，则（????）

A．当时，

B．当时，为递增数列

C．当时，有最小值

D．当取任意非零实数时，一定有最大值或最小值

7．已知函数，记的最小值为，数列的前n项和为，下列说法正确的是（????）

A． B．

C． D．若数列满足，则

8．已知正四面体的棱长为，其所有顶点均在球的球面上．已知点满足，，过点作平面平行于和，平面分别与该正四面体的棱相交于点，则（????）

A．四边形的周长是变化的

B．四棱锥体积的最大值为

C．当时，平面截球所得截面的周长为

D．当时，将正四面体绕旋转90°后与原四面体的公共部分的体积为

三、填空题

9．已知函数，如果不等式对恒成立，则实数m的取值范围_______________.

10．已知，设，，其中k是整数．若对一切，都是区间上的严格增函数．则的取值范围是__________．

11．在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______．

12．黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：，定义在实数集上的函数满足，且函数的图象关于直线对称，，当时，，则___________.

13．已知函数，的定义域均为R，是奇函数，且，，则下列结论正确的是______．（只填序号）

①为偶函数；

②为奇函数；

③；

④.

14．若对于，，使得不等式恒成立，则实数x的范围为______．

四、解答题

15．已知定义在上的函数有，且对于任意的都有，求证：对于大于1的有理数，及实数，有．

16．已知函数.

(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

(2)若方程有两个实根，，且，求证：.

参考数据：，.

17．已知函数，

(1)若对成立，求实数a的取值范围；

(2)若，函数存在两个极值点，，记的最大值与最小值为，求的值.

18．三个互不相同的函数与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”．

(1)设，试分别判断是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；

(2)求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；

(3)若，且存在实数k，b，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值．

19．设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”．

(1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；

(2)已知，．证明：点是的0度点；

(3)求函数的全体2度点构成的集合．

20．已知函数．

(1)若对时，，求正实数a的最大值；

(2)证明：；

(3)若函数的最小值为m，证明：方程有唯一的实数根，（其中是自然对数的底数）

21．设是定义域为的函数，当时，.

(1)已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数；

(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；

(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.

22．已知，且0为的一个极值点．

(1)求实数的值；

(2)证明：①函数在区间上存在唯一零点；

②，其中且．

23．已知函数．

(1)若在上恒成立，求实数a的取值范围；

(2)证明：．

24．已知函数．

(1)当a=0时，求函数的最小值；

(2)当的图像在点处的切线方程为y=1时，求a的值，并证明：当时，．