第12讲 正多边形与圆（4大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）.docxVIP

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第12讲正多边形与圆

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，并进行有关计算；

2．了解正多边形的对称性；

3.会用量角器画正多边形，用直尺和圆规作一些特殊的正多边形。

1.之间所学到的正多边形是？那什么叫正多边形？

正三角形（等边三角形），正方形

正多边形：各边相等、各角都相等的多边形叫做正多边形

2.认识圆内接正多边形

用量角器把一个圆分成n等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形，这个圆是这个正n边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.

3.与正多边形的有关概念

名称

名称

定义

中心

正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心（如图圆O）。

半径

正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径（如图R）。

边心距

正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距.（如图r）。

中心角

正多边形每一条边所对的外接圆的圆心叫做正多边形的中心角（如图∠AOD）。

4.正多边形的计算

名称

公式

内角

正n变形的每个内角都为

中心角

正n边形的每个中心角都为

外角

正n边形的每个外角都为

边心距

正n边形的边心距

周长

正n边形的周长C=na

面积

正n边形的面积

5.正多边形的对称性

正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n天对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它又是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。

6.正多边形的画法

（1）量角器画法

在半径为R的圆中，先用量角器画一个度数为的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，顺次连接各等分点即可作出半径为R的正n边形。

（2）尺规作图画法

①作正方形

作法：1.在圆O中作两条互相垂直的直径AC、BD.

2.依次连接A、B、C、D四个点，四边形ABCD即可画出。

②作正六边形

作法：1.在圆O中画出任意一条直径AD；

2.分别以点A、D为圆心，圆O的半径为半径作弧，与圆O相交与点B、F和点C、E；

3.依次连接A、B、C、D、E、F六个点，即可画出正六边形。

考点一：正多边形的中心角

例1．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（????）

A． B． C． D．

【变式1-1】如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（????）

A． B． C． D．

【变式1-2】如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是度．

【变式1-3】如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．

??

(1)求的度数；

(2)若的半径为8，求正方形的边长．

考点二：由中心角求边数

例2．正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（????）

A．4 B．6 C．8 D．12

【变式2-1】如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（）

A． B． C． D．

【变式2-2】如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则．

??

【变式2-3】古建中的数学：古亭探“优”．

【了解】

“江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形．

【探索】

先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法．

（1）旋转的角度最小为_______o；

（2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______；

（3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由；

【作图】

（4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明）

考点三：正多边形与圆综合

例3.半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（???）

A．1 B．2 C． D．

【变式3-1】如图，正五边形内接于，点是上的一个动点，当沿着的路径在圆上运动的过程中（不包括，两点），的度数是（????）

A． B． C． D．不确定

【变式3-2】如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为．

【变式3-3】如图，正方形内接于，E是的中点，连接．

??

(1)求∠E的度数．

(2)求证：．

(3)若，则点E到的距离为．

考点四：尺规作图——