第01讲 一元二次方程和一元二次方程的解法（直接开平方）（5大核心考点）- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）.docxVIP

第01讲一元二次方程和一元二次方程的解法（直接开平方）

模块一思维导图串知识

模块二基础知识全梳理

模块三核心考点举一反三

模块四小试牛刀过关测

1．通过观察，归纳一元二次方程的概念；

2．会用直接开平方法解形如（x+h）2=k（h、k为常数，k≥0）

1.用方程的关系表示

正方形的面积是4，设正方形的边长为x，表示它们之间的关系。

2.认识一元二次方程

回顾一下一元一次方程的概念

一元一次方程：。

因此，只含有一个，且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程.

一元二次方程三要素：（1）；（2）；（3）.

3.一元二次方程的一般形。

一般形式

项及项的系数

二次项为；二次项系数为.

一次项为；一次项系数为.

常数项为.

特点

方程左边是关于未知数的二次整式，右边为0.

4.一元二次方程的特殊形式

特殊形式

二次项系数

一次项系数

常数项

ax2+bx=0（a≠0，b≠0）

ax2+c=0（a≠0，c≠0）

ax2=0

5.一元一次方程的解

概念

使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

判断一个数是不是一元二次方程的根

将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个返程的根。

6.一元二次方程的解法（一）

解x2=4（用平方根的方法）

于是我们知道一元二次方程x2=4有两个根，它们分别记为

像这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开方法.形如（h、k为常数，k≥0）的一元二次方程，可以用直接开方法求解.

考点一：一元二次方程的定义

例1．下列方程是一元二次方程的是（????）

A． B．

C． D．

【变式1-1】若关于的方程是一元二次方程，则的值是（????）

A．0 B． C．1 D．

【变式1-2】若关于x的一元二次方程有一个根为0，则．

【变式1-3】已知关于x的方程．

(1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？

(2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？

考点二：一元二次方程的一般形式

例2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，，

【变式2-1】若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（????）

A．2 B． C．1 D．

【变式2-2】把方程化为一元二次方程的一般形式是．

【变式2-3】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．

(1)；

(2)；

(3)关于的方程．

考点三：一元二次方程的解

例3.若是关于的方程的一个根，则的值是（????）

A．2026 B．2025 C．2023 D．2022

【变式3-1】如果是一元二次方程的一个根，则b的值是（????）

A．2 B．－2 C．3 D．

【变式3-2】已知m是方程的一个根，则的值为．

【变式3-3】如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

????

(1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．

(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．

考点四：直接开平方法

例4．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（）

A． B． C．或 D．

【变式4-1】方程的解为（????）

A． B．2 C． D．

【变式4-2】方程的根是

【变式4-3】用直接开平方法解下列方程：

(1)

(2)．

考点五：一元二次方程解的估算

例5．根据表格中的数据：估计一元二次方程（，，为常数，）一个解的范围为（???）

A． B． C． D．

【变式5-1】已知，依据下表，它的一个解的范围是（????）

A． B． C． D．不确定

【变式5-2】如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断