专题09 切线长定理（解析版）-【挑战压轴题】2021-2022学年九年级数学下册压轴题专题精选汇编（北师大版）.pdfVIP

2021-2022学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编

专题09切线长定理

一．选择题

1．（2020•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列

四种说法：

①PA＝PB；

②OP⊥AB；

③四边形OAPB有外接圆；

④M是△AOP外接圆的圆心．

其中正确说法的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【思路引导】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用

切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则

可对④进行判断．

【完整解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，

∴PA＝PB，所以①正确；

∵OA＝OB，PA＝PB，

∴OP垂直平分AB，所以②正确；

∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴点A、B在以OP为直径的圆上，

∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；

∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，

∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．

故选：C．

2．（2020秋•林州市期中）如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，

AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（）

A．9B．7C．11D．8

【思路引导】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q．根据切线长定理得到NC＝MC，

QE＝DQ．所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进

行求解即可．

【完整解答】解：设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CM＝x，根据切线长定理，

得

CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．

则有9﹣x+10﹣x＝8，

解得：x＝5.5．

所以△CDE的周长＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．

故选：C．

3．（2020•浙江自主招生）如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝

10，AD＝6，则CB长（）

A．4B．5C．6D．无法确定

【思路引导】方法1、设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、

OF、OC、OH，则圆的半径R，可以看作△BOC，△COD，△AOD的高，根据S梯形ABCD＝S△BOC+S△COD+S

△DOA，以及梯形的面积公式即可求解．

方法2、利用切线的性质得出∠ADO＝∠ODC，进而得出∠ADO＝∠AOD，即可得出OA＝6，即：OB＝

4，同理：BC＝OB即可得出结论．

【完整解答】解：方法1、

设圆O的半径是R，圆O与AD、DC、CB相切于点E、F、H，连接OE、OD、OF、OC、OH．

设CD＝y，CB＝x．

设S梯形ABCD＝S

则S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）

S＝S△BOC+S△COD+S△DOA

＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）

联立（1）（2）得x＝4；

方法2、连接OD．OC

∵AD，CD是⊙O的切线，

∴∠ADO＝∠ODC，

∵CD∥AB，

∴∠ODC＝∠AOD，

∴∠ADO＝∠AOD

∴AD＝OA

∵AD＝6，

∴OA＝6，

∵AB＝10，

∴OB＝4，

同理可得

OB＝BC＝4，

故选：A．

4．（2019•深圳模拟）如图，AB是⊙O