专题09 全等三角形证明方法：截长补短【考点串讲+热点题型专训】-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（北师大版）（解析版）.pdfVIP

专题09全等三角形证明方法——截长补短

例题精讲：

例1．已知：如图，四边形ABCD中，AC平分ÐBAD，CE^AB于E，且ÐB+ÐD=180°，判断

AE、

AD和BE的关系，并说明理由

【答案】，理由见解析

AE=AD+BE

【详解】解：AE=AD+BE．理由如下：

在AE上截取AM=AD，连接CM，

∵AC平分ÐBAD，

∴Ð1=Ð2，

在VAMC和VADC中，

AC=AC

ì

ï

íÐ1=Ð2，

ï

AM=AD

î

∴VAMC≌VADCSAS，

∴Ð3=ÐD，

∵ÐB+ÐD=180°，Ð3+Ð4=180°，

∴Ð4=ÐB，

∴CM=CB，

∵CE^AB，

∴ME=EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），

∵AE=AM+ME，

∴AE=AD+BE．

【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线，证出ME=EB．

例2．如图，四边形ABCD中，AC平分ÐBAD，CE^AB于点E，ÐB+ÐD=180°，求证：

AE=AD+BE．

【答案】见解析

【详解】解：过点C作CH^AD，交AD的延长线于点H，如图所示：

则ÐCHA=90°，

∵AC平分ÐBAD，CE^AB，

∴CE=CH，ÐCEB=ÐCEA=90°，ÐBAC=ÐDAC，

∵ÐB+ÐD=180°，ÐCDH+ÐADC=180°，

∴ÐCDH=ÐB，

在VCDH和VCEB中，

ÐCDH=ÐB

ì

ï

íÐCHD=ÐBEC，

ï

CH=CE

î

∴VCDH≌VCEBAAS，



∴BE=DH，

在VCEA和VCHA中，

ÐCEA=ÐCHA

ì

ï

íÐEAC=ÐHAC，

ï

AC=AC

î

∴VCEA≌VCHAAAS，



∴AE=AH，

∴AE=AD+DH=AD+EB．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解

题的关键．

例3．如图，已知VABC为等腰三角形，AB=AC，D为线段CB延长线上一点，连接AD，DE平分

ÐADC

3

交AC、AB于点E、F，且ÐADC+ÐABC=180°．

2

（1）猜想ÐDAC与ÐACD的数量关系，并证明；

（2）求证AD=DC+EC．

【答案】（1）ÐACD=2ÐDAC，证明见解析；（2）见解析

【详解】（1）解：ÐACD=2ÐDAC，证明如下：

∵AB=AC，

∴ÐABC=ÐACD，

3

∵ÐADC+ÐABC=180°，

2

3

∴ÐADC+ÐACD=180°，

2

∵ÐADC=180°-ÐACD-ÐDAC，

3

∴180°-ÐACD-ÐDAC=180°-ÐACD，

2

化简，得：ÐACD=2ÐDAC；

（2）证明：延长DC至点K，使CK=CE，

∵CK=CE，

∴ÐK=ÐCEK，

∴ÐACD=2ÐK，

∵ÐACD=2ÐDAC，

∴ÐDAC=ÐK，

∵DE平分ÐADC，

∴ÐADE=ÐKDE，

在VADE和VKDE中，

ÐADE=ÐKDE

ì

ï

íÐDAC=ÐK，

ï

DE=DE

î

∴VAD