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第二十二章圆(下)一直线和圆22.2圆的切线第二课时切线长定理与三角形的内切圆
基础过关练知识点3切线长定理1.如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交
☉O于点M.给出下列四种说法:①PA=PB;②OP⊥AB;③四边形OAPB有外接圆;④M是△AOP外接圆的圆心.其中说法正确的个数是?(????)CA.1????B.2????C.3????D.4
解析∵PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,∴PA=PB,故
①正确;∵OA=OB,PA=PB,∴OP垂直平分AB,故②正确;∵PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∴点A、B在以OP为直径的圆上,∴四边形OAPB有外接圆,故③正确;只有当∠APO=30°时,OP=2OA,
此时PM=OM,∴M不一定是△AOP外接圆的圆心,故④错误.
故选C.
2.如图,过点A作☉O的切线AB,AC,切点分别是B,C,连接BC.
过?上一点D作☉O的切线,交AB,AC于点E,F.若∠A=90°,△AEF的周长为4,则BC的长为?(????)?A.2????B.2?????C.4????D.4?B
解析∵AB,AC为☉O的切线,∴AC=AB,∵FD,FC为☉O的切线,∴FD=FC,同理,ED=EB,∴△AEF的
周长=AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=4,∴AC=AB=2,
∴BC=?AB=2?.故选B.
3.(教材变式·P144T2)(2023北京朝阳陈经纶中学分校月考)如
图,PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线CD分别相交
于D、C,已知△PCD的周长等于10cm,则PA=????cm.?5
解析设DC与☉O相切于点E(图略),∵PA、PB是☉O的切线,且切点分别为A、B,∴PA=PB.同理,DE=DA,CE=CB.∴△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+CB+PC=PA+PB
=10(cm),∴PA=PB=5cm.
知识点4三角形的内切圆4.(2023山东聊城中考)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I
是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数
为?(????)?A.15°????B.17.5°????C.20°????D.25°C
解析如图,连接OC,∵点I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC,
∵∠CAI=35°,∴∠BAC=2∠CAI=70°,∵点O是△ABC外接圆
的圆心,∴∠BOC=2∠BAC=140°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=?×(180°-∠BOC)=?×(180°-140°)=20°,故选C.?
5.如图,正三角形ABC内切圆的半径为1,那么三角形ABC的边
长为?(????)?A.2????B.2?????C.?????D.3B解析过O点作OD⊥AB于点D(图略),则OD=1,∵点O是△ABC的内心,△ABC是等边三角形,∴∠OAD=30°,在Rt△OAD中,∠OAD=30°,OD=1,∴AD=?=?,∴AB=2AD=2?.故选B.
6.一个直角三角形的斜边长为10cm,内切圆半径为1cm,则
这个三角形的周长是????.?22cm
7.(2023湖北潜江中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC
的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长
线交DE于点F,则∠AFD=????.?35°
解析如图,连接OD,OE,OB,设OB与ED交于点G,∵∠ACB=70°,∴∠CAB+∠CBA=110°,∵点O为△ABC的内切圆的圆心,∴∠OAB+∠OBA=55°,BD=BE,∴∠AOB=125°,∵OE=OD,BD=BE,∴OB垂直平分DE,∴∠OGE=90°,∴∠AFD=∠AOB-∠OGF=125°-90°=35°.
能力提升练8.(2023广东广州中考,9,★☆☆)如图,△ABC的内切圆☉I与
BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若☉I的半径为r,∠A=α,则(BF
+CE-BC)的值和∠FDE的大小分别为?(????)?A.2r,90°-α B.0,90°-αDC.2r,90°-? D.0,90°-?
解析如图,连接IF,IE.∵△ABC的内切圆☉I与BC,CA,AB分
别相切于点D,E,F,∴BF=BD,CD=CE,IF⊥AB,IE⊥AC,∴BF+CE-BC=BD+CD-BC=BC-BC=0,∠AFI=∠AEI=90°,∴∠EIF=180°-α,∴∠EDF=?∠EIF=90°-?α.故选D.
9.(2023北京东城期末,8,★★☆)如图,☉O是△ABC的内切圆,
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