专题02 等式与不等式（考点清单 知识导图 21个考点清单 题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点（沪教版2020必修第一册）（原卷版）.docx

清单02等式与不等式

（21个考点梳理+题型解读+提升训练）

【清单01】不等式的性质

性质

性质内容

特别提醒

对称性

（等价于）

传递性

（推出）

可加性

（等价于

可乘性

注意的符号（涉及分类讨论的思想）

同向可加性

同向同正可乘性

可乘方性

，同为正数

【清单02】一元二次不等式的解法

（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

（2）写出相应的方程，计算判别式：

①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；

②时，求根；

③时，方程无解

（3）根据不等式，写出解集.

【清单03】四个二次的关系

判别式

二次函数(的图象

一元二次方程

()的根

有两个不相等的实数根，()

有两个相等的实数根

没有实数根

()的解集

()的解集

【清单04】分式不等式的解法

①移项化零：将分式不等式右边化为0：

②

③

④

⑤

【清单05】绝对值不等式的解法

【清单06】基本不等式

1、基本不等式链

（其中，当且仅当时，取“”号）

（注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱）

2、三角不等式定理：对任意的实数，有，且等号当且仅当时成立.

【考点题型一】等式的性质与方程的解

【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法正确的是．（填序号）

①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故；

②解方程时，对比方程两边知，，故；

③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得；

④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根．

【变式1-1】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知等式恒成立，其中a、b、c为常数，则

【变式1-2】（24-25高一上·上海普陀·阶段练习）设为实数，求关于的方程的解集.

【变式1-3】（24-25高一上·上海·假期作业）设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由.

(1)如果，且，那么；

(2)如果，且，那么；

(3)如果，那么；

(4)如果，那么，其中是正整数；

(5)如果，那么；

(6)如果，那么.

【考点题型二】解不含参数的一元一次不等式

【例2】（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）已知关于的不等式组：有且只有一个实数解，则实数的（结果用集合或区间表示）.

【变式2-1】（24-25高一上·上海杨浦）已知的解集为，则不等式的解集为.

【变式2-2】（23-24高一上·上海·期末）已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是”是命题（填“真”或“假”）

【考点题型三】解含参数的一元一次不等式

【例3】（24-25高一上·上海杨浦）设，已知关于的解集为，则的取值范围是（????）

A．?∞,0 B．0,+∞ C． D．

【变式3-1】（24-25高一上·上海徐汇）不等式的解为．

【变式3-2】（2024高一·上海·专题练习）解下列关于x的不等式：

（1）ax+42x+a2，其中a2；

（2）mx+1x+m3，其中m1.

【考点题型四】一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【例4】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若、是方程的两相异实根，则有（???）

A．， B．，

C． D．

【变式4-1】（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）若是方程的两个根，则(????)

A． B．2 C．4 D．8

【变式4-2】（23-24高一上·上海静安·期中）已知实常数a、b，满足，

(1)证明：关于的方程有两个不同的实数解.

(2)若关于的方程有两个不同的实数解，，求的值.

【变式4-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于的一元二次方程.

（1）证明：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；

（2）若这个方程的两个实数根，满足，求实数的值.

【考点题型五】作差法比较大小

【例5】（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小．

【变式5-1】（2024高一·上海·专题练习）比较下列各组中两数的大小：

(1)已知为正数，且，比较与的大小；

(2)已知，比较与的大小；

(3)已知均为正数，设，，比较和的大小.

【变式5-2】（24-25高三·全国·）设实数，，满足①，②，试确定，，的大小关系．

【考点题型六】利用不等式求值或取值范围

【例6】（2024高三·全国·专题练习）已知－1x＋y4，2x－y3，求3x＋2y的取值范围？

【变式6-1】（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）若实数x、y满足，，则的取值范围是．

【变式6-2】（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为.

【考点题型七】一元一次不等式

【例7】（24-25高一上·上海·期中