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查补培优冲刺04.二次函数与几何的综合压轴
题型一：二次函数与角度问题
题型二：二次函数与相似（全等）
题型三：二次函数与特殊三角形
题型四：二次函数与特殊四边形
题型五：二次函数与定值、定点
题型六：二次函数与几何最值（范围）
题型七：二次函数与新定义几何图形
题型一：二次函数与角度问题
1.二次函数与角度综合问题，常见类型：
?1）特殊角问题：（1）利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；（2）?遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。
2）角的数量关系问题
（1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、全等和相似的性质或构造圆，利用圆周角的性质来解决；
（2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答；
（3）角的和差问题：角度和为90度、45度等。
例1．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．(1)请直接写出，的值；(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线下方的动点，过点作直线的垂线，垂足为．
①求的最大值；②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．
变式1．（2024·江苏扬州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线的顶点坐标为，与x轴分别交于点A，B．连接，点D是线段上方抛物线上的一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在点D运动过程中，连接，求面积的最大值；
(3)如图2，在点D运动过程中，连接交于点E，点F在线段上，连接，若，求点F横坐标的最大值．
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变式2．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在二次函数（m是常数，且）的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC，BD．(1)求A，B，C三点的坐标（用数字或含m的式子表示），并求的度数；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限内二次函数（m是常数，且）的图像上，始终存在一点P，使得，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围．
题型二：二次函数与相似（全等）
相似三角形存在性问题：（1）若两个相似三角形对应关系已知，则根据对应边或对应角关系；①设点坐标；②表示线段长（或点坐标）；③列比例关系式求解；④将点坐标代入到满足的函数关系中求解；（2）若两个相似三角形对应关系末知，则需根据已知三角形分类讨论三角形的对应边关系，再由（1）中的步骤求解即可。
全等三角形存在性问题：（1）若两个全等三角形对应关系已知，则根据对应边关系；①若三角形的边长可以计算出来，则根据全等关系直接列式；②若已知三角形的顶点在抛物线上，并且可以表示出来，则将此顶点坐标代入抛物线解析式中列式。（2）若两个全等三角形对应关系未知，则需根据已知分类讨论两个三角形的对应全等关系，再由（1）中的方法求解即可。
例1．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
(1)求抛物线的解析式；(2)当时，求面积的最大值；(3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
变式1．（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是．
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题型三：二次函数与特殊三角形
1）等腰三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准顶确与底角分类讨论的关键，借助等腰三角形的等边对等角、等角对等边、三线合一等性质来转化已知条件是常用的处理手段。
2）直角三角形存在性问题处理技巧：需注意分类讨论思想的应用，找准直角顶点是分类讨论的关键，借助直角三角形的勾股定理，两锐角互补等性质来转化已知条件是常用的处理手段。
例1．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．(1)_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．
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变式1．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C．连接A
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