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上海中学数学·2009年第3期
用代数方法和向tl方法证明斯坦纳定理
200065梁开华
斯坦纳定理：如图1，DB平分ABC，EC[南一]-o，
平分ACB，BD—EC，则AB：AC．即△ABC
是等腰三角形．一{+互±笔芝三吕)一Q
1．代数方法证明
先给出两个简单的引理：只能一b．即△ABC是等腰三角形．
A2．向量方法证明
A如图3(a)，△ABC中，BC=a，CA=b，AB
—C，AD：DB—m：．先用向量方法证明，CD
ma+nb
——
——．．．．．—————————
一
f‘
引理1在△ABC中，有余弦定理，比如
ADHBA
。A一；
(a)(b)
引理2在△ABC中，如图2，有(内)角平
图3
分线截得比例线段定理：一BD
．不妨令=m，荫一．由m一
斯坦纳定理证明：对图1，设AB—a，AC一
，，分别解出t，消去t，即得CD一
6，BC—；设BD—EC—，由C丽A一AE
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