全等三角形模型之一线三等角模型全攻略（解析版）.docxVIP

专题11全等三角形模型之一线三等角模型全攻略

【模型说明】

①三垂直全等模型

②线三等角模型

【例题精讲】

例1．（基本模型1）在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．

【积累经验】

（1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；

【类比迁移】

（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

【拓展应用】

（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．

【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）与的面积之和为4．

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．

（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到；

（2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到．

（3）由，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出F即可得出结果．

【详解】解：（1），理由如下，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

（2）仍然成立，理由如下，

∵，

，

，

∵，

∴，

∴，

；

（3）∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴与的面积之和为4．

例2．（基本模型2）在中，，，直线经过点，且于，于．

??

(1)当直线绕点旋转到图1位置时，求证：；

(2)当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明；

(3)当直线绕点旋转到图3位置时，、、之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证明）．

【答案】(1)见解析

(2)，证明见解析

(3)

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．余角的性质，解题的关键在于找出证明三角形全等的条件．

（1）先用证明，得，，进而得出；

（2）先用证明，可得，，进而得出；

（3）证明过程同（2），进而可得．

【详解】（1）证明：由题意知，，，

∴，，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴．

（2）解：．

证明：∵，，

∴，

∴，，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，，

又∵,

∴．

（3）解：．

证明：∵于，于，

∴，

∴，，

∴∠ACD＝∠EBC，

在和中，

∵，

∴，

∴，，

又∵，

∴．

例3．（模型拓展1）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现）

（1）如图，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____________，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；

??

（模型应用）

（2）如图，，连接，且于点与直线交于点．求证：点是的中点；

（深入探究）

（3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为的面积为，则有_____________（填“、、”）

【答案】（1）；（2）见解析；（3）。

【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；

（2）分别过点和点作于点，于点，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题；

（3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，由题意易得，，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题．

【详解】解：（1）∵，

∴，

故答案为；

（2）分别过点和点作于点，于点，如图所示：

??

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

同理可知，

∴，

∵，，

∴，

∵

∴，

∴，即点是的中点；

（3），理由如下：

如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于

??

∵四边形与四边形都是正方形

∴，，

∵，，

∴，，，

又∵，

∴，

∴，

∴，，

同理可以证明，

∴，，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∵，

∴,

∴即，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．

例4．（模型拓展2）如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形DEF，且点D，E分别落在AB，BC上，AD＝5，连结CF，若CF平分∠ACB，则BE的长度为2.5．

【解答】解：如图，在BC上截取EG＝BD，连接FG，

∵△ABC和△DEF是等边三角形，

∴DE＝EF，AB＝BC，∠DEF＝∠B＝∠ACB＝60°，

∵∠DEC＝∠BDE+∠B＝∠DEF+∠FEG，∴∠BDE＝∠FEG，

在△BED和△GFE中，，∴△BED≌△GFE（SAS），

∴∠B＝∠EGF＝60°，BE＝FG，

∵FC平分∠ACB，∴∠ACF＝∠ECF＝30°，

∵∠EGF＝∠GFC+∠FCG，∴∠GFC＝∠GCF＝30°，∴FG＝CG＝BE，

∵AB＝BC，BD＝EG，∴AD＝