轴对称之将军饮马模型全攻略（解析版）.docxVIP

专题13轴对称之将军饮马模型全攻略

【模型说明】

模型一、两定一动模型

模型二、一定两动

【例题精讲】

例1．（两定一动求最值）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为．

【答案】6

【分析】连接BE交AD于M，则BE就是EM+CM的最小值，通过等腰三角形的“三线合一”，可得BE=AD即可得出结论．

【详解】解：连接BE，与AD交于点M．

∵AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴B、C关于AD对称，则EM+CM=EM+BM，

则BE就是EM+CM的最小值．

∵E是等边△ABC的边AC的中点，AD是中线

∴BE=AD=6，

∴EM+CM的最小值为6，

故答案为：6．

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和轴对称等知识的综合应用，解题关键是找到M点的位置．

例2．（两定一动求角度）如图，是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当的周长最小时，的度数为．

【答案】30°/30度

【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分，从而可求出．

【详解】如图连接BP．

∵为等边三角形，

∴AD为BC的垂直平分线，

∴BP=CP，

∵△PCE的周长=PE+CP+CE=PE+BP+CE，

∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小，

∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图．

又∵点E为中点，AD为高，为等边三角形，

∴P点即为等边角平分线的交点，

∴CP平分，

∴．

故答案为：

【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键．

例3．（一定两动求距离）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是．

【答案】

【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小．

【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．

∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，

∴；

∵点P关于的对称点为D，

∴，

∴，，

∴是等边三角形，

∴．

∴的周长的最小值．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定．作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在．

例4．（一定两动求角度）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝°．

【答案】80

【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．

【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，

∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，

∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，

∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，

∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，

∴NA＝NA2，MA＝MA1，

∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，

∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，

∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）

＝130°﹣50°

＝80°，

故答案为：80．

【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．

例5．（培优综合）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为．

【答案】

【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．

【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动

将绕点旋转，使与重合，得到，

从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，

作，则即为的最小值，

作，可知四边形为矩形，

则.

故答案为．

【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键．

【课后训练】

1．如图，∠AOB＝45°，角内有一点P，PO＝