清单08 抛物线及其性质（清单 导图 考点 题型 变式 ）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）（解析版）.docx

清单08抛物线及其性质（2个考点梳理+7题型解读+变式训练）

【清单01】抛物线的定义

平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

注：若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点．

【清单02】抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向

图形

标准

方程

顶点

范围

，

，

，

，

对称轴

轴

轴

焦点

离心率

准线方程

焦半径

【方法技巧与总结】

1、点与抛物线的关系

（1）在抛物线内（含焦点）．

（2）在抛物线上．

（3）在抛物线外．

2、焦半径

抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，．

3、的几何意义

为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大．

4、焦点弦

若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：

（1）．

（2）．

（3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．

焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）．

（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）．

5、抛物线的弦

若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则

（1）弦长公式：

（2）

（3）直线AB的方程为

（4）线段AB的垂直平分线方程为

6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法）

（1）焦点为，准线为

（2）焦点为，准线为

如，即，焦点为，准线方程为

7、参数方程

的参数方程为（参数）

8、切线方程和切点弦方程

抛物线的切线方程为，为切点

切点弦方程为，点在抛物线外

与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果．

9、抛物线的通径

过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．

对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为．

10、弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：

11、焦点弦的常考性质

已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足．

（1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；

（2），

（3）；

（4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上

考点题型一：抛物线的定义与方程

【典例1-1】（2024·高二·黑龙江·期中）若正三角形的一个顶点是原点，另外两个顶点在抛物线上，则该正三角形的边长为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设等边三角形的边长为，

则由等边三角形和抛物线的对称性可得等边三角形一个顶点的坐标为，

代入抛物线方程得，解得.

故选：B

【典例1-2】（2024·高二·河南驻马店·期中）已知动点满足，则动点P轨迹是（???）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

【答案】C

【解析】已知，

将等式右边的变形为，即.

此时原等式变为，

两边同时除以得到.

表示点到点的距离，

表示点到直线的距离.

所以点到点的距离等于点到直线的距离.

点不在直线上，

根据圆锥曲线的定义，到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，

故动点的轨迹是抛物线.

故选：C.

【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有.

故选：C

【变式1-2】（2024·高二·吉林四平·期中）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则抛物线的标准方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对于椭圆，，，则，

椭圆的焦点坐标为和1,0，

抛物线的焦点的坐标为，

因为抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，

所以，解得，所以抛物线的标准方程为.

故选：B.

【变式1-3】（2024·高二·广西梧州·期中）准线方程为的抛物线的标准方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，

设其方程为，则其准线方程为，得.

该抛物线的标准方程是.

故选：D.

【变式1-4】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为（????）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【解析】直线与坐标轴的交点为以及，

所以抛物线的焦点为或，

当焦点为，此时抛物线方程为，

当焦点为时，此时抛物线的方程为，

故选：C

考点题型二：抛物线的轨迹方程

【典例2-1】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等，

故点是在以为