西北工业大学《概率论与数理统计》2.2.3_多维随机变量及其分布.docxVIP

概率论与数理统计

概率论与数理统计

八、随机变量的独立性九、条件分布

八、随机变量的独立性

九、条件分布

第二节多维随机变量及其分布(3)

第二节

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八、随机变量的独立性由前面的例子我们可以看到,有时联合概率密度函数等于边缘密度函数的乘积(如课本p.40例2.11),联合分布律等于边缘分布律的乘积(如课本

八、随机变量的独立性

由前面的例子我们可以看到,有时联合概率密度函数等于边缘密度函数的乘积(如课本p.40例2.11),联合分布律等于边缘分布律的乘积(如课本p.39例

2.10),这类现象涉及到独立性问题,随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念,经常遇到.下面我们利用事件之间的独立性导出随机变量之间的独立性

概念.

定义2.6设X,Y是两个随机变量,若对任意实数x,

定义2.6设X,Y是两个随机变量,若对任意实数x,y,

事件{X≤x},{Y≤y}是相互独立的,即

P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}

则称X,Y是相互独立的.

回忆：两事件A,B独立的定义：若P(AB)=P(A)P(B),

则称事件A,B独立.

用分布函数表示，即是设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y有F(x,

用分布函数表示，即是

设X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y有

F(x,y)=FX(x)FY(y)

则称X,Y相互独立.

它表明，两个随机变量(简记为r.v)相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.

对于连续型随机变量,上述定义等价于:对于任意的x,y有p(x,

对于连续型随机变量,上述定义等价于:

对于任意的x,y有

p(x,y)=pX(x)pY(y)

成立,则称X,Y相互独立.

其中p(x,y)是X,Y的联合概率密度;

pX(x)和pY(y)分别是X和Y的边缘概率密度.

对于离散型随机变量,上述独立性定义等价于:对(X,Y)所有可能取值(x

对于离散型随机变量,上述独立性定义等价于:对(X,Y)所有可能取值(xi,yj),有

P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj)

即pij=pi.p.j

则称X,Y相互独立.

注如果X和Y相互独立,那么它们的连续函数

f(X)和g(Y)也相互独立.

例1已知(X,Y)的分布律为(X

例1已知(X,Y)的分布律为

(X,Y)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(2,1)

(2,2)

(2,3)

pij

1

6

1

9

1

18

1

3

α

β

(1)求α与β应满足的条件;

(2)若X与Y相互独立,求α与β的值.

解将(X,Y)的分布律改写为

(1)由分布律的性质知α≥0,β≥0,+α+β=1,故α与β应满足的条件是:α≥0,β≥0且α+β=

(2)因为X与Y相互独立,所以有pij=

(2)因为X与Y相互独立,所以有

pij=pi?.p?j,(i=1,2;j=1,2,3)

特别有

又α+β=得

例2设(X,Y)的概率密度为?xe?(x+y),x0,

例2设(X,Y)的概率密度为

?xe?(x+y),

x0,y0,

其它.

p(x,y)=?

l0,问X与Y是否独立？

解pX(x)=∞xe?(x+y)dy=xe?x,pY(y)=∞xe?(x+y)dx=e?y,

x0y0

所以X与Y独立.

例3设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)证明

例3

设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)

证明X与Y相互独立的充要条件是ρ=0.

证上节课已经给出的X和Y边缘概率密度分别为

?∞+∞

x

.

2

?∞+∞

y

.

(注：expx=ex)若ρ=0，则=

(注：expx=ex)

若ρ=0，则

=pX(x)pY(y)

说明X与Y相互独立.反之,若X与Y相互独立,则

令x=μ1,y=μ2,则上式变为从而推出

令x=μ1,y=μ2,则上式变为

从而推出ρ=0.

九、条件分布问题的提出:从遗传学的角度看,父亲的身高X会影响儿子的身高Y.这里父亲的身高X

九、条件分布

问题的提出:从遗