微分中值定理的证明、推广与应用(定)_图文.pdf

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第一章引言

1．1研究的背景

微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。1400年至1600年的欧洲文艺

复兴，使得整个欧洲全面觉醒。一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发

展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。这一时期，对

运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不

能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究

对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。

微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类

型的科学问题：

第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和

加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；

第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；

第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极

大值、极小值问题也急待解决；

第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，

又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。

在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具。

什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，

子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的

概念

如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树

枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17

世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题

要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完

善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但

使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。

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牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。

（l）“已知流量之间的关系，求它们的流数的关系”，这相当于微分学。

（2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛

顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。

（3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值、求曲线的切线和曲率，求曲

线长度及计算曲边形面积等。

牛顿已完全清楚上述（l）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和

积分学之间的联系。

牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微

积分的标志。

莱布尼茨使微积分更加简洁和准确

而德国数学家莱布尼茨（G．W．Leibniz1646－1716）则是从几何方面独立发现了

微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了

开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积

分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，

运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合

了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于

牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。

莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度——阿拉伯数码促进了算术与代数发展一

样，促进了微积分学的发展，莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。牛顿当时

采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨

比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成

功的关键之一。以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问

题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问

题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特

征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。因此