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人教版.九年级上册24.2.1点与圆的位置关系
学习目标1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.2.理解不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念4.了解反证法的证明思想
新知导入我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为我国赢得荣誉,图是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不相同)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?解决这个问题,需要研究点和圆的位置关系.
新知探究下图中点和圆的位置关系有哪几种?.o.C...A.点和圆的位置关系有三种:点在圆内,点在圆上,点在圆外..B
新知探究点P在⊙O内点P在⊙O上点P在⊙O外dddrPdPrdPrd<rr=>r反过来,由d与r的数量关系,怎样判定点和圆的位置关系呢?设点到圆心的距离为d,圆的半径为r,量一量点和圆三种不同位置关系时,d与r有怎样的数量关系.
新知探究设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆外d>r;点P在圆上d=r;点P在圆内d<r.符号“”读作“等价于”,它表示从符号“”的左端可以推出右端,从右端也可以推出左端.
新知探究探究问题1:如何过一个点A作一个圆?过点A可以作多少个圆?·····以不与点A重合的任意一点为圆心,以这个点到A点的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.A
新知探究问题2:如何过两点A,B作一个圆?过两点可以作多少个圆?作线段AB的垂直平分线,以其上任意一点为圆心,以这点和点A或B的距离为半径画圆即可;可作无数个圆.BA
新知探究问题3:过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆?ABCDEGF●o经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
新知探究归纳定理:不在同一直线上的三个点确定一个圆.经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.(1)已知圆心、半径,可以确定一个圆.(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.确定一个圆的条件
新知探究已知△ABC,用直尺与圆规作出过A,B,C三点的圆.ABC所作圆经过A,B,C三点圆心O到A,B,C三点距离相等圆心O在线段AB的垂直平分线上圆心O也在线段BC的垂直平分线上圆心O为两线段垂直平分线的交点
新知探究已知△ABC,用直尺与圆规作出过A,B,C三点的圆.ABCDEGF●o经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上.经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
新知探究(1)作三角形任意两边的垂直平分线,确定其交点;(2)以该交点为圆心,以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可.三角形外接圆的作法
新知探究经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.圆的内接三角形三角形的外接圆三角形的外心ABCO外心1.三边垂直平分线的交点2.到三个顶点距离相等
新知探究锐角三角形的外心位于三角形内;直角三角形的外心位于斜边的中点处;钝角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O画一画:分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,再画出它们的外接圆,观察其外心的位置.
新知探究思考经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗?l1l2ABCP如图,假设经过同一条直线l上的A,B,C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上,又在线段BC的垂直平分线l2上,即点P为l1与l2的交点,而l1⊥l,l2⊥l.这与学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以,经过同一条直线上的三个点不能作圆.
反证法的定义先假设命题的结论不成立,然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾),由矛盾判定假设不正确,从而得到原命题成立,这种方法叫做反证法.反证法的一般步骤假设命题的结论不成立从这个假设出发,经过推理,得出矛盾由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确新知探究
这样,过点O就有两条直线都平行于CD,这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.根据“同位角相等,两条直线平行”,可得A′B′∥CD例如图,我们要证明
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