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《正切函数的图象与性质》教学设计二

教学设计

一、阅读引导

1.阅读教材，问题导入.

阅读教材第58~62页，回答下面的问题.

（1）如何画出正切函数的图象？

提示：类比画正弦函数图象的方法，画出函数，的图象，再利用其周期性将其延拓到整个定义域上.

（2）函数的图象如图所示，由图象可以得到正切函数的哪些性质？

提示：定义域是，值域是R，最小正周期是，是奇函数，在每一个区间上单调递增.

2.归纳总结，核心必记.

（1）正切函数的图象.

正切函数的图象称作正切曲线.

正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的这些直线称作正切曲线各支的渐近线.

（2）正切函数的性质.

①正切函数的定义域是.

②正切函数的值域是R.

③正切函数是周期函数，周期是，最小正周期是.

④正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称，都是它的对称中心.

⑤正切函数在每一个区间上单调递增.

设计意图：在引入课题的同时，激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性.

二、知识深化

1.正切函数的图象.

观察函数的图象，完成下列思考.

思考1正切函数的定义域是什么？

提示：.

思考2正切曲线与直线存在怎样的关系？

提示：因为正切函数的定义域为，所以正切曲线与直线无限接近但不会相交，即正切曲线是由被相互平行的直线∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的.

思考3从正切曲线上看，在区间上，正切函数值是增大的吗？

提示：是.

2.正切函数的性质.

观察函数的图象，完成下列思考.

思考1直线与图象的两相邻交点之间的距离是多少?

提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两相邻交点之间的距离为.

思考2诱导公式说明了正切函数具有怎样的奇偶性？

提示：正切函数是奇函数.

思考3正切函数在定义域内是增函数，这一说法对吗？

提示：不对.只能说正切函数在每一个区间上是增函数.

思考4正切曲线是对称图形吗？对称中心是什么？

提示：由正切函数的图象知，正切曲线是中心对称图形，对称中心为.

设计意图：通过学生自主回答思考题，提高学生的学习热情，体验成功的愉悦感，加深对所学知识的理解.

三、例题剖析

例1画出下列函数的图象，并求出定义域、周期和单调区间：

（1）；

（2）.

想一想1如何求函数的定义域？

想一想2如何求函数的周期？

想一想3如何求函数的单调区间？

解（1）画出的图象如图所示.

由的定义域可知，函数的自变量应满足，即，所以函数的定义域是.

由于的周期是，

，

因此，函数的最小正周期是.

因为的单调递增区间是，

所以由，解得.

因此，函数的单调递增区间是.

（2）画出的图象如图所示.

由的定义域知，函数的自变量x应满足，即.因此，的定义域是.

由于，因此，函数的最小正周期是.

由，解得.

因此，函数的单调递增区间是.

巩固练习：教材第62页练习第5题.

【师生活动】教师出示练习题，学生根据教师讲解的正切函数图象的画法，自己画出函数的图象，然后根据图象分析函数的定义域、周期、单调区间等性质.

【归纳总结】函数的性质：

（1）定义域：令，解出x的取值范围；

（2）周期性：利用公式求解；

（3）单调性：当时，令，解出的取值范围，写成区间是函数的增区间，无减区间；当时，利用诱导公式先将x的系数化为正数，用类似的方法解出x的取值范围，写成区间是函数的减区间，无增区间.

例2比较下列各组中三角函数值的大小：

（1）与；

（2）与.

想一想1观察角的大小是否在同一个单调区间上，不在的话，如何化简？

想一想2正切函数的单调性是什么？

想一想3如何利用正切函数的单调性比较正切函数值的大小？

解（1）

.

由于在区间上单调递增，且，因此，即.

（2），

.

由于在区间上单调递增，且，因此，，

即.

巩固练习：教材第62页练习第6题.

【师生活动】教师出示练习题，找学生分析解题思路，安排学生进行板演，再集体订正答案，并引导学生总结规律方法.

【归纳总结】运用正切函数的单调性比较大小的步骤：

（1）运用诱导公式将角化到同一单调区间内；

（2）运用单调性比较大小关系.

设计意图：让学生在知识应用的过程中巩固所学知识.

四、课堂小结

1.正切函数的图象.

2.正切函数的定义域、值域、周期性、单调性.

设计意图：通过知识的梳理和小结，强化学生对所学知识的理解与记忆，培养学生的归纳总结能力.

五、布置作业

教材第62页习题1-7A组第3~7题.

板书设计

7.3正切函数的图象与性质

一、阅读引导

1.画正切函数的图象

2.正切函数的性质

①定义域是

②值域是