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《正切函数的定义》同步学案

问题情境导入

类比已经学过的锐角的正弦函数值、余弦函数值的求法，你能求出锐角的正切函数值吗？如果把角的大小推厂到汪角，又该如何求出角的正切函数值？本节课我们就米解决这些问题.

新课自主学习

自学导引

1.正切函数的定义.

（1）比值_____是的函数，称为的正切函数，记作，其中定义域为_____.

（2）若角的终边上任取一点，则_____.

2.正切函数的诱导公式.

_____，_____，_____，_____，

_____，_____.

答案

1.（1）（2）

2.

预习测评

1.已知角的终边经过点，则的值为（）

A.

B.

C.

D.

2.（）

A.

B.

C.

D.

3.若n为整数，则化简的结果是（）

A.

B.

C.

D.

4.已知角的终边经过点，且，则的值为_____.

答案

1.

答案：A

解析：因为，所以.

2.

答案：A

解析：原式.

3.

答案：C

解析：当时，原式；当时，原式.

4.

答案：12

解析：由正切函数的定义知，解得.

新知合作探究

探究点1正切函数的定义

知识详解

1.比值是的函数，称为的正切函数，记作，其中定义域为.

2.若角的终边上任取一点，则.

[特别提示]

求正切函数值有两种方法：

（1）先求出角的正弦函数值、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解；

（2）注意到角的终边为射线，取射线上任意一点坐标，则对应角的正弦函数值为，余弦函数值为，正切函数值为.

正切函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点在终边上的位置无关，只由角的终边位置确定，即正切函数值的大小只与角有关.

典例探究

例1（1）若角的终边经过点，则的值为（）

A.

B.2

C.

D.

（2）如果，那么_____.

解析（1）由正切函数的定义，得.（2）因为，所以，所以.

答案（1）A（2）

方法归纳取角的终边上任意一点（原点除外），则对应的角的正弦函数值为,弦函数值为,正切函数值为.

变式训练1已知角的终边上一点与点，关于轴对称，角的终边上一点与点A关于原点对称，求的值.

答案由题意知，，从而，所以.

探究点2正切函数的诱导公式

知识详解

正切函数的诱导公式：

，，

，，

，.

其中角可以为使等式两边都有意义的任意角.

[特别提示]

求已知角的正切函数值时，一般先把负角化为正角，再化为范围内的正切函数，最后化成范围内的正切函数求值.

典例探究

例2已知，则的值为（）

A.

B.

C.

D.

解析.

答案D

方法技巧注意分析“已知角”与“所求角”之间的关系，如本题中，从而选择恰当的诱导公式求解.

变式训练2（）

A.

B.

C.

D.

答案:B

解析：.

探究点3与参数有关的问题

知识详解

利用三角函数的定义，已知一个角的一个三角函数值，可以求出角的终边上点的坐标，从而可以求出这个角的其他三角函数值.

[特别提示]

必要时需对参数进行分类讨论.

典例探究

例3已知角的终边上有一点，且，求的值.

解析先根据正弦函数的定义求出的值，再求的值.

答案点到原点的距离，所以，解得.

当时，；

当时，.

（3）当时，.

方法指导当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

变式训练3若480°角的终边上有一点，则_____.

答案

解析：，所以，解得.

易错易混解读

例已知是角的终边上一点，且，求的值.

错解因为，所以，解得，所以

错因分析根据可以确定y的符号应为负号，错解中出现多解.

正解因为，所以，且，解得，所以.

纠错心得利用三角函数的定义可以求参数的值，注意对参数符号的判断，当符号不能确定时，会出现多解.

课堂快速检测

1.函数（）

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数

2.（）

A.

B.

C.

D.

3.已知600°角的终边上有一点，则的值为（）

A.

B.

C.

D.

4.已知角的终边上一点，且，则的值是（）

A.

B.

C.

D.

5.的值为（）

A.0

B.1

C.

D.

6.若，则的值为_____.

答案

1.

答案：A

解析：，因为，所以函数是奇函数.

2.

答案：D

解析：.

3.

答案：B

解析：由于，又，所以，即.

4.

答案：B

解析：由三角函数定义知，.当时，；当时，.

5.

答案：C

解析：

6.

答案：

解析：因为，所以，所以，即，所